ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 196 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения:
1) 10^100 + 8 делится нацело на 9;
2) 111n — 6 делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.

1) 10¹⁰⁰ + 8, так как число 10¹⁰⁰ степени имеет в своей записи цифру 1 и сто нулей, то при прибавлении числа 8, получится число, состоящее из единицы, нулей и восьми, если сложить все цифры полученного числа, получится число 9, которое делится нацело на 9.

2) 111ⁿ — 6, так как число 111 в любой степени оканчивается единицей, то при вычитании числа 6 из него, получится число, оканчивающееся цифрой 5, которое делится нацело на 5.

1. Докажите, что значение выражения \(10^{100} + 8\) делится нацело на \(9\).

Анализ выражения \(10^{100} + 8\):

— Число \(10^{100}\) — это единица, за которой следуют \(100\) нулей.
Пример:

\[
10^{100} = 1 \underbrace{000\ldots000}_{100 \, \text{нулей}}.
\]

— При прибавлении числа \(8\) к \(10^{100}\), получится число, которое состоит из цифры \(1\), \(100\) нулей и цифры \(8\) на конце.
Пример:

\[
10^{100} + 8 = 1 \underbrace{000\ldots000}_{100 \, \text{нулей}}8.
\]

Сумма цифр числа:

— Для проверки делимости на \(9\), используем правило: число делится на \(9\), если сумма его цифр делится на \(9\).
— В числе \(10^{100} + 8\) цифры следующие: \(1\), \(100\) нулей и \(8\).
— Сложим все цифры:

\[
1 + 0 + 0 + \ldots + 0 + 8 = 1 + 8 = 9.
\]

Делимость суммы цифр на \(9\):

— Сумма цифр равна \(9\), а \(9\) делится нацело на \(9\).
— Следовательно, само число \(10^{100} + 8\) делится на \(9\).

Вывод:

\[
10^{100} + 8 \, \text{делится нацело на} \, 9.
\]

2. Докажите, что значение выражения \(111n — 6\) делится нацело на \(5\) при любом натуральном значении \(n\).

Анализ выражения \(111n — 6\):

— Число \(111n\) — это число, полученное умножением \(111\) на \(n\), где \(n\) — любое натуральное число (\(n = 1, 2, 3, \ldots\)).
— Нужно доказать, что разность \(111n — 6\) делится на \(5\).

Делимость числа \(111\) на \(5\):

— Число \(111\) заканчивается цифрой \(1\).
— При умножении \(111\) на любое натуральное число \(n\), произведение также будет заканчиваться цифрой \(1\).
Например:

\[
111 \cdot 1 = 111, \quad 111 \cdot 2 = 222, \quad 111 \cdot 3 = 333 \quad \text{и т.д.}
\]

Разность \(111n — 6\):

— Если число \(111n\) заканчивается цифрой \(1\), то при вычитании \(6\) из него получится число, заканчивающееся цифрой \(5\):

\[
111n — 6 = \text{число, заканчивающееся на} \, 5.
\]

Делимость числа, заканчивающегося на \(5\), на \(5\):

— Любое число, оканчивающееся цифрой \(5\), делится нацело на \(5\).
— Следовательно, выражение \(111n — 6\) делится на \(5\).

Вывод:

\[
111n — 6 \, \text{делится нацело на} \, 5 \, \text{при любом натуральном значении} \, n.
\]

Итоговый ответ:

1)

\[
10^{100} + 8 \, \text{делится нацело на} \, 9.
\]

2)

\[
111n — 6 \, \text{делится нацело на} \, 5 \, \text{при любом натуральном значении} \, n.
\]