ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 221 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение (при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3, расположенной на форзаце учебника):

1) 2^3 * 2^4;

2) (3^2)3;

3) 0,2 * 0,2^2 * 0,2^3;

4) 0,51^2 * 2^12;

5) 2^12: 2^8;

6) (3^4)5 : 3^19;

7) (1/3)9 * 9^9;

8) 2,5^5 * 40^5.

1) 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128;

2) (3²)³ = 3⁶ = 729;

3) 0,2 · 0,2² · 0,2³ = 0,2⁶ = 0,000064;

4) 0,5¹² · 2¹² = (0,5 · 2)¹² = 1¹² = 1;

5) 2¹² : 2⁸ = 2⁴ = 16;

\[6)  (3^{19} \cdot 3^{19}) = 3^{20} : 3^{19} = 3^{1} = 3; \]

\[ 7) \left(\frac{1}{3}\right)^9 \cdot 9^9 = \left(\frac{1}{3} \cdot 9\right)^9 = 3^9 = 19\,683;\]

8) 2,5⁵ · 40⁵ = (2,5 · 40)⁵ = 100⁵ = 10 000 000 000.

1. Упростить выражение \( 2^3 \cdot 2^4 \):

Шаг 1. Свойство степеней:
При умножении степеней с одинаковым основанием используется правило:

\[
a^m \cdot a^n = a^{m+n}.
\]

Применим это правило:

\[
2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7.
\]

Шаг 2. Вычисление значения:
Согласно таблице степеней числа \( 2 \):

\[
2^7 = 128.
\]

### **Ответ для первого задания:**

\[
2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128.
\]

—

2. Упростить выражение \( (3^2)^3 \):

Шаг 1. Свойство степеней:
При возведении степени в степень используется правило:

\[
(a^m)^n = a^{m \cdot n}.
\]

Применим это правило:

\[
(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6.
\]

Шаг 2. Вычисление значения:
Согласно таблице степеней числа \( 3 \):

\[
3^6 = 729.
\]

Ответ для второго задания:

\[
(3^2)^3 = 3^6 = 729.
\]

3. Упростить выражение \( 0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 \):

Шаг 1. Свойство степеней:
При умножении степеней с одинаковым основанием используется правило:

\[
a^m \cdot a^n = a^{m+n}.
\]

Применим это правило:

\[
0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 = 0,2^{1+2+3} = 0,2^6.
\]

Шаг 2. Вычисление значения:
Вычислим \( 0,2^6 \):

\[
0,2^6 = 0,000064.
\]

Ответ для третьего задания:

\[
0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 = 0,2^6 = 0,000064.
\]

4. Упростить выражение \( 0,5^{12} \cdot 2^{12} \):

Шаг 1. Свойство степеней:
При умножении степеней с одинаковым показателем используется правило:

\[
a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m.
\]

Применим это правило:

\[
0,5^{12} \cdot 2^{12} = (0,5 \cdot 2)^{12}.
\]

Шаг 2. Упростим основание:
\[
0,5 \cdot 2 = 1.
\]

Таким образом:

\[
(0,5 \cdot 2)^{12} = 1^{12}.
\]

Шаг 3. Вычисление значения:
Любое число, возведенное в степень, равную \( 1 \), остается \( 1 \):

\[
1^{12} = 1.
\]

Ответ для четвертого задания:

\[
0,5^{12} \cdot 2^{12} = 1^{12} = 1.
\]

5. Упростить выражение \( 2^{12} : 2^8 \):

Шаг 1. Свойство степеней:
При делении степеней с одинаковым основанием используется правило:

\[
a^m : a^n = a^{m-n}.
\]

Применим это правило:

\[
2^{12} : 2^8 = 2^{12-8} = 2^4.
\]

Шаг 2. Вычисление значения:
Согласно таблице степеней числа \( 2 \):

\[
2^4 = 16.
\]

Ответ для пятого задания:

\[
2^{12} : 2^8 = 2^4 = 16.
\]

6. Упростить выражение \( (3^4)^5 : 3^{19} \):

Шаг 1. Упростим числитель:
Используем правило возведения степени в степень:

\[
(a^m)^n = a^{m \cdot n}.
\]

Применим это правило к числителю:

\[
(3^4)^5 = 3^{4 \cdot 5} = 3^{20}.
\]

Теперь выражение принимает вид:

\[
3^{20} : 3^{19}.
\]

Шаг 2. Свойство деления степеней:
При делении степеней с одинаковым основанием используется правило:

\[
a^m : a^n = a^{m-n}.
\]

Применим это правило:

\[
3^{20} : 3^{19} = 3^{20-19} = 3^1.
\]

Шаг 3. Упростим результат:
\[
3^1 = 3.
\]

Ответ для шестого задания:

\[
(3^4)^5 : 3^{19} = 3^1 = 3.
\]

7. Упростить выражение \( \left(\frac{1}{3}\right)^9 \cdot 9^9 \):

Шаг 1. Упростим основание:
Представим \( 9 \) как \( 3^2 \). Тогда:

\[
9^9 = (3^2)^9 = 3^{2 \cdot 9} = 3^{18}.
\]

Теперь выражение принимает вид:

\[
\left(\frac{1}{3}\right)^9 \cdot 3^{18}.
\]

Шаг 2. Свойство дроби в степени:
\[
\left(\frac{1}{a}\right)^m = a^{-m}.
\]

Применим это правило:

\[
\left(\frac{1}{3}\right)^9 = 3^{-9}.
\]

Теперь выражение принимает вид:

\[
3^{-9} \cdot 3^{18}.
\]

Шаг 3. Свойство умножения степеней:
\[
a^m \cdot a^n = a^{m+n}.
\]

Применим это правило:

\[
3^{-9} \cdot 3^{18} = 3^{-9+18} = 3^9.
\]

Шаг 4. Вычисление значения:
Согласно таблице степеней числа \( 3 \):

\[
3^9 = 19\,683.
\]

Ответ для седьмого задания:

\[
\left(\frac{1}{3}\right)^9 \cdot 9^9 = 3^9 = 19\,683.
\]

8. Упростить выражение \( 2,5^5 \cdot 40^5 \):

Шаг 1. Свойство степеней:
При умножении степеней с одинаковым показателем используется правило:

\[
a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m.
\]

Применим это правило:

\[
2,5^5 \cdot 40^5 = (2,5 \cdot 40)^5.
\]

Шаг 2. Упростим основание:

\[
2,5 \cdot 40 = 100.
\]

Теперь выражение принимает вид:

\[
100^5.
\]

Шаг 3. Вычисление значения:

\[
100^5 = 10\,000\,000\,000.
\]

Ответ для восьмого задания:

\[
2,5^5 \cdot 40^5 = 100^5 = 10\,000\,000\,000.
\]

Итоговые ответы:

1. \[
2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128.
\]

2. \[
(3^2)^3 = 3^6 = 729.
\]

3. \[
0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 = 0,2^6 = 0,000064.
\]

4. \[
0,5^{12} \cdot 2^{12} = 1^{12} = 1.
\]

5. \[
2^{12} : 2^8 = 2^4 = 16.
\]

6. \[
(3^4)^5 : 3^{19} = 3^1 = 3.
\]

7. \[
\left(\frac{1}{3}\right)^9 \cdot 9^9 = 3^9 = 19\,683.
\]

8. \[
2,5^5 \cdot 40^5 = 100^5 = 10\,000\,000\,000.
\]