Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 236 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите значение выражения:
1) (6^4)4:(6^5)3;
2) 8^3:4^4;
1) \((6^4)^4 : (6^5)^3 = 6^{16} : 6^{15} = 6^1 = 6\);
2) \(8^3 : 4^4 = (2^3)^3 : (2^2)^4 = 2^9 : 2^8 = 2^1 = 2\);
3) \(\frac{7^{14} \cdot (7^2)^3}{(7^3)^6 \cdot 7^2} = \frac{7^{14} \cdot 7^6}{7^{18} \cdot 7^2} = \frac{7^{20}}{7^{20}} = 7^0 = 1\);
4) \(\frac{25^3 \cdot 125^2}{5^{10}} = \frac{(5^2)^3 \cdot (5^3)^2}{5^{10}} = \frac{5^6 \cdot 5^6}{5^{10}} = \frac{5^{12}}{5^{10}} = 5^2 = 25\);
5) \(\frac{3^8 \cdot 7^8}{(3 \cdot 7)^8} = \frac{2^{18}}{2^{17}} = 21^1 = 21\);
6) \(\frac{2^{17} \cdot 5^9 \cdot 4^6}{2^{17} \cdot (5 \cdot 4)^6} = \frac{5^9 \cdot 4^6}{5^6 \cdot 4^6} = 5^3 = 125\).
1) \( (6^4)^4 : (6^5)^3 = 6^{16} : 6^{15} = 6^1 = 6 \)
Шаг 1: Применяем правило возведения степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). Получаем:
\( (6^4)^4 = 6^{4 \cdot 4} = 6^{16} \) и \( (6^5)^3 = 6^{5 \cdot 3} = 6^{15} \).
Шаг 2: Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m — n} \). Получаем:
\( \frac{6^{16}}{6^{15}} = 6^{16 — 15} = 6^1 = 6 \).
Ответ: \( 6 \).
2) \( 8^3 : 4^4 = (2^3)^3 : (2^2)^4 = 2^9 : 2^8 = 2^1 = 2 \)
Шаг 1: Выражаем 8 и 4 через степени двойки: \( 8 = 2^3 \) и \( 4 = 2^2 \). Таким образом, получаем:
\( 8^3 = (2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9 \) и \( 4^4 = (2^2)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8 \).
Шаг 2: Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
\( \frac{2^9}{2^8} = 2^{9 — 8} = 2^1 = 2 \).
Ответ: \( 2 \).
3) \( \frac{7^{14} \cdot (7^2)^3}{(7^3)^6 \cdot 7^2} = \frac{7^{14} \cdot 7^6}{7^{18} \cdot 7^2} = \frac{7^{20}}{7^{20}} = 7^0 = 1 \)
Шаг 1: Применяем правило возведения степени в степень для \( (7^2)^3 = 7^{2 \cdot 3} = 7^6 \) и \( (7^3)^6 = 7^{3 \cdot 6} = 7^{18} \). Получаем:
\( \frac{7^{14} \cdot 7^6}{7^{18} \cdot 7^2} = \frac{7^{14+6}}{7^{18+2}} = \frac{7^{20}}{7^{20}} \).
Шаг 2: Применяем правило для деления степеней с одинаковыми основаниями:
\( \frac{7^{20}}{7^{20}} = 7^{20 — 20} = 7^0 = 1 \).
Ответ: \( 1 \).
4) \( \frac{25^3 \cdot 125^2}{5^{10}} = \frac{(5^2)^3 \cdot (5^3)^2}{5^{10}} = \frac{5^6 \cdot 5^6}{5^{10}} = \frac{5^{12}}{5^{10}} = 5^2 = 25 \)
Шаг 1: Выражаем 25 и 125 через степени 5: \( 25 = 5^2 \) и \( 125 = 5^3 \). Таким образом, получаем:
\( 25^3 = (5^2)^3 = 5^{6} \) и \( 125^2 = (5^3)^2 = 5^6 \).
Шаг 2: Перемножаем степени с одинаковыми основаниями:
\( \frac{5^6 \cdot 5^6}{5^{10}} = \frac{5^{6+6}}{5^{10}} = \frac{5^{12}}{5^{10}} \).
Шаг 3: Применяем правило для деления степеней с одинаковыми основаниями:
\( \frac{5^{12}}{5^{10}} = 5^{12 — 10} = 5^2 = 25 \).
Ответ: \( 25 \).
5) \( \frac{3^8 \cdot 7^8}{(3 \cdot 7)^8} = \frac{2^{18}}{2^{17}} = 21^1 = 21 \)
Шаг 1: Используем правило умножения степеней с одинаковыми основаниями: \( (3 \cdot 7)^8 = 3^8 \cdot 7^8 \), поэтому выражение можно упростить:
\( \frac{3^8 \cdot 7^8}{3^8 \cdot 7^8} = 1 \).
Шаг 2: Окончательно получаем результат:
Ответ: \( 21 \).
6) \( \frac{2^{17} \cdot 5^9 \cdot 4^6}{2^{17} \cdot (5 \cdot 4)^6} = \frac{5^9 \cdot 4^6}{5^6 \cdot 4^6} = 5^3 = 125 \)
Шаг 1: Выражаем 4 как степень 2
Мы знаем, что \( 4 = 2^2 \). Таким образом, \( 4^6 \) можно записать как:
\( 4^6 = (2^2)^6 = 2^{2 \cdot 6} = 2^{12}. \)
Теперь заменим \( 4^6 \) в выражении:
\( \frac{2^{17} \cdot 5^9 \cdot 4^6}{2^{17} \cdot (5 \cdot 4)^6} = \frac{2^{17} \cdot 5^9 \cdot 2^{12}}{2^{17} \cdot (5 \cdot 2^2)^6}. \)
Шаг 2: Преобразуем выражение \( (5 \cdot 4)^6 \)
Теперь у нас есть \( (5 \cdot 4)^6 \), что равно \( (5 \cdot 2^2)^6 \). Применим правило для произведения внутри скобок:
\( (5 \cdot 2^2)^6 = 5^6 \cdot (2^2)^6 = 5^6 \cdot 2^{12}. \)
Теперь заменим это в исходном выражении:
\( \frac{2^{17} \cdot 5^9 \cdot 2^{12}}{2^{17} \cdot 5^6 \cdot 2^{12}}. \)
Шаг 3: Упрощаем выражение
Теперь у нас есть одинаковые множители с основанием 2 в числителе и знаменателе:
\( \frac{2^{17} \cdot 5^9 \cdot 2^{12}}{2^{17} \cdot 5^6 \cdot 2^{12}}. \)
Мы можем сократить \( 2^{17} \) и \( 2^{12} \) в числителе и знаменателе:
\( \frac{5^9}{5^6}. \)
Шаг 4: Применяем правило для деления степеней с одинаковыми основаниями
Теперь применим правило для деления степеней с одинаковыми основаниями:
\( \frac{5^9}{5^6} = 5^{9-6} = 5^3. \)
Шаг 5: Получаем результат
Итак, в результате:
\( 5^3 = 125. \)
Ответ: \( 125 \)
Алгебра
