ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 236 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \[(64)^4 : (65)^3;\]

2) \[8^3 : 4^4;\]

3) \[\frac{7^{14} \cdot (7^2)^3}{(7^3)^6 \cdot 7^2};\]

4) \[\frac{25^3 \cdot 125^2}{5^{10}};\]

5) \[\frac{3^8 \cdot 7^8}{21^7};\]

6) \[\frac{5^9 \cdot 4^6}{20^6}.\]

1) \((6^4)^4 : (6^5)^3 = 6^{16} : 6^{15} = 6^1 = 6\);

2) \(8^3 : 4^4 = (2^3)^3 : (2^2)^4 = 2^9 : 2^8 = 2^1 = 2\);

3) \(\frac{7^{14} \cdot (7^2)^3}{(7^3)^6 \cdot 7^2} = \frac{7^{14} \cdot 7^6}{7^{18} \cdot 7^2} = \frac{7^{20}}{7^{20}} = 7^0 = 1\);

4) \(\frac{25^3 \cdot 125^2}{5^{10}} = \frac{(5^2)^3 \cdot (5^3)^2}{5^{10}} = \frac{5^6 \cdot 5^6}{5^{10}} = \frac{5^{12}}{5^{10}} = 5^2 = 25\);

\[5) \frac{3^8 \cdot 7^8}{21^7} = \frac{(3 \cdot 7)^8}{21^7} = \frac{21^8}{21^7} = 21^{1} = 21;\]

\[6) \frac{5^9 \cdot 4^6}{20^6} = \frac{5^9 \cdot 4^6}{(5 \cdot 4)^6} = \frac{5^9 \cdot 4^6}{5^6 \cdot 4^6} = 5^{3} = 125.\]

1) \( (6^4)^4 : (6^5)^3 = 6^{16} : 6^{15} = 6^1 = 6 \)

Шаг 1: Применяем правило возведения степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). Получаем:

\( (6^4)^4 = 6^{4 \cdot 4} = 6^{16} \) и \( (6^5)^3 = 6^{5 \cdot 3} = 6^{15} \).

Шаг 2: Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m — n} \). Получаем:

\( \frac{6^{16}}{6^{15}} = 6^{16 — 15} = 6^1 = 6 \).

Ответ: \( 6 \).

2) \( 8^3 : 4^4 = (2^3)^3 : (2^2)^4 = 2^9 : 2^8 = 2^1 = 2 \)

Шаг 1: Выражаем 8 и 4 через степени двойки: \( 8 = 2^3 \) и \( 4 = 2^2 \). Таким образом, получаем:

\( 8^3 = (2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9 \) и \( 4^4 = (2^2)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8 \).

Шаг 2: Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

\( \frac{2^9}{2^8} = 2^{9 — 8} = 2^1 = 2 \).

Ответ: \( 2 \).

3) \( \frac{7^{14} \cdot (7^2)^3}{(7^3)^6 \cdot 7^2} = \frac{7^{14} \cdot 7^6}{7^{18} \cdot 7^2} = \frac{7^{20}}{7^{20}} = 7^0 = 1 \)

Шаг 1: Применяем правило возведения степени в степень для \( (7^2)^3 = 7^{2 \cdot 3} = 7^6 \) и \( (7^3)^6 = 7^{3 \cdot 6} = 7^{18} \). Получаем:

\( \frac{7^{14} \cdot 7^6}{7^{18} \cdot 7^2} = \frac{7^{14+6}}{7^{18+2}} = \frac{7^{20}}{7^{20}} \).

Шаг 2: Применяем правило для деления степеней с одинаковыми основаниями:

\( \frac{7^{20}}{7^{20}} = 7^{20 — 20} = 7^0 = 1 \).

Ответ: \( 1 \).

4) \( \frac{25^3 \cdot 125^2}{5^{10}} = \frac{(5^2)^3 \cdot (5^3)^2}{5^{10}} = \frac{5^6 \cdot 5^6}{5^{10}} = \frac{5^{12}}{5^{10}} = 5^2 = 25 \)

Шаг 1: Выражаем 25 и 125 через степени 5: \( 25 = 5^2 \) и \( 125 = 5^3 \). Таким образом, получаем:

\( 25^3 = (5^2)^3 = 5^{6} \) и \( 125^2 = (5^3)^2 = 5^6 \).

Шаг 2: Перемножаем степени с одинаковыми основаниями:

\( \frac{5^6 \cdot 5^6}{5^{10}} = \frac{5^{6+6}}{5^{10}} = \frac{5^{12}}{5^{10}} \).

Шаг 3: Применяем правило для деления степеней с одинаковыми основаниями:

\( \frac{5^{12}}{5^{10}} = 5^{12 — 10} = 5^2 = 25 \).

Ответ: \( 25 \).

5. Найти значение выражения \[\frac{3^8 \cdot 7^8}{21^7}\]:

Шаг 1. Представим \( 21 \) как произведение \( 3 \cdot 7 \):
Число \( 21 \) можно записать как \( 3 \cdot 7 \). Тогда \( 21^7 = (3 \cdot 7)^7 \).

Выражение теперь принимает вид:

\[
\frac{3^8 \cdot 7^8}{21^7} = \frac{3^8 \cdot 7^8}{(3 \cdot 7)^7}.
\]

Шаг 2. Свойство произведения в степени:
Используем правило \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\), чтобы раскрыть основание \( (3 \cdot 7)^7 \):

\[
\frac{3^8 \cdot 7^8}{(3 \cdot 7)^7} = \frac{3^8 \cdot 7^8}{3^7 \cdot 7^7}.
\]

Шаг 3. Упростим дробь:
Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя правило \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):
\[
\frac{3^8}{3^7} = 3^{8-7} = 3^1, \quad \frac{7^8}{7^7} = 7^{8-7} = 7^1.
\]

Теперь выражение принимает вид:

\[
3^1 \cdot 7^1 = 3 \cdot 7 = 21.
\]

Ответ для задачи 5:

\[
\frac{3^8 \cdot 7^8}{21^7} = 21.
\]

6. Найти значение выражения \[\frac{5^9 \cdot 4^6}{20^6}\]

Шаг 1. Представим \( 20 \) как произведение \( 5 \cdot 4 \):
Число \( 20 \) можно записать как \( 5 \cdot 4 \). Тогда \( 20^6 = (5 \cdot 4)^6 \).

Выражение теперь принимает вид:

\[
\frac{5^9 \cdot 4^6}{20^6} = \frac{5^9 \cdot 4^6}{(5 \cdot 4)^6}.
\]

Шаг 2. Свойство произведения в степени:
Используем правило \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\), чтобы раскрыть основание \( (5 \cdot 4)^6 \):

\[
\frac{5^9 \cdot 4^6}{(5 \cdot 4)^6} = \frac{5^9 \cdot 4^6}{5^6 \cdot 4^6}.
\]

Шаг 3. Упростим дробь:
Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя правило \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):

\[
\frac{5^9}{5^6} = 5^{9-6} = 5^3, \quad \frac{4^6}{4^6} = 1.
\]

Теперь выражение принимает вид:

\[
5^3 \cdot 1 = 5^3.
\]

Шаг 4. Вычислим значение \( 5^3 \):

\[
5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125.
\]

Ответ для задачи 6:

\[
\frac{5^9 \cdot 4^6}{20^6} = 125.
\]