ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 237 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вычислите:

1) 100^5 : 1000^2;

1) \(100^5 : 1000^2 = (10^2)^5 : (10^3)^2 = 10^{10} : 10^6 = 10^4 = 10\ 000;\)

2) \(\frac{3^{10} \cdot (3^3)^5}{(3^5)^4 \cdot 3} = \frac{3^{10} \cdot 3^{15}}{3^{20} \cdot 3} = \frac{3^{25}}{3^{21}} = 3^4 = 81;\)

3) \(\frac{4^3 \cdot 16^2}{2^{12}} = \frac{(2^2)^3 \cdot (2^4)^2}{2^{12}} = \frac{2^6 \cdot 2^8}{2^{12}} = \frac{2^{14}}{2^{12}} = 2^2 = 4;\)

4) \(\frac{45^{10}}{58 \cdot 3^{19}} \cdot \frac{9^{10} \cdot 5^{10}}{58 \cdot 3^{19}} = \frac{5^2 \cdot (3^2)^{10}}{3^{19}} = \frac{25 \cdot 3^{20}}{3^{19}} = 25 \cdot 3 = 75.\)

1) \( 100^5 : 1000^2 = (10^2)^5 : (10^3)^2 = 10^{10} : 10^6 = 10^4 = 10\ 000 \)

Шаг 1: Начнем с того, что \( 100 = 10^2 \) и \( 1000 = 10^3 \), поэтому можно переписать выражение как:

\( 100^5 = (10^2)^5 \) и \( 1000^2 = (10^3)^2 \).

Шаг 2: Применяем правило возведения степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). Получаем:

\( (10^2)^5 = 10^{2 \cdot 5} = 10^{10} \) и \( (10^3)^2 = 10^{3 \cdot 2} = 10^6 \).

Шаг 3: Теперь делим степени с одинаковыми основаниями, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m — n} \). Получаем:

\( \frac{10^{10}}{10^6} = 10^{10 — 6} = 10^4 = 10\ 000 \).

Ответ: \( 10\ 000 \).

2) \( \frac{3^{10} \cdot (3^3)^5}{(3^5)^4 \cdot 3} = \frac{3^{10} \cdot 3^{15}}{3^{20} \cdot 3} = \frac{3^{25}}{3^{21}} = 3^4 = 81 \)

Шаг 1: Начнем с того, что \( (3^3)^5 = 3^{3 \cdot 5} = 3^{15} \) и \( (3^5)^4 = 3^{5 \cdot 4} = 3^{20} \). Подставляем это в выражение:

\( \frac{3^{10} \cdot 3^{15}}{3^{20} \cdot 3} \).

Шаг 2: Перемножаем степени с одинаковыми основаниями в числителе: \( 3^{10} \cdot 3^{15} = 3^{10 + 15} = 3^{25} \), и получаем выражение:

\( \frac{3^{25}}{3^{20} \cdot 3} \).

Шаг 3: Применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m — n} \). Получаем:

\( \frac{3^{25}}{3^{21}} = 3^{25 — 21} = 3^4 = 81 \).

Ответ: \( 81 \).

3) \( \frac{4^3 \cdot 16^2}{2^{12}} = \frac{(2^2)^3 \cdot (2^4)^2}{2^{12}} = \frac{2^6 \cdot 2^8}{2^{12}} = \frac{2^{14}}{2^{12}} = 2^2 = 4 \)

Шаг 1: Мы знаем, что \( 4 = 2^2 \) и \( 16 = 2^4 \), следовательно, \( 4^3 = (2^2)^3 \) и \( 16^2 = (2^4)^2 \). Подставляем это в выражение:

\( \frac{(2^2)^3 \cdot (2^4)^2}{2^{12}} \).

Шаг 2: Применяем правило возведения степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). Получаем:

\( (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \) и \( (2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8 \). Подставляем это обратно в выражение:

\( \frac{2^6 \cdot 2^8}{2^{12}} \).

Шаг 3: Перемножаем степени с одинаковыми основаниями в числителе: \( 2^6 \cdot 2^8 = 2^{6 + 8} = 2^{14} \). Получаем:

\( \frac{2^{14}}{2^{12}} \).

Шаг 4: Применяем правило для деления степеней с одинаковыми основаниями:

\( \frac{2^{14}}{2^{12}} = 2^{14 — 12} = 2^2 = 4 \).

Ответ: \( 4 \).

4) \( \frac{45^{10}}{58 \cdot 3^{19}} \cdot \frac{9^{10} \cdot 5^{10}}{58 \cdot 3^{19}} = \frac{5^2 \cdot (3^2)^{10}}{3^{19}} = \frac{25 \cdot 3^{20}}{3^{19}} = 25 \cdot 3 = 75 \)

Шаг 1: Начнем с того, что \( 9 = 3^2 \), поэтому \( 9^{10} = (3^2)^{10} = 3^{20} \). Подставим это в выражение:

\( \frac{45^{10}}{58 \cdot 3^{19}} \cdot \frac{(3^2)^{10} \cdot 5^{10}}{58 \cdot 3^{19}} \).

Шаг 2: Перепишем \( 45 = 5 \cdot 9 = 5 \cdot 3^2 \), поэтому \( 45^{10} = (5 \cdot 3^2)^{10} = 5^{10} \cdot 3^{20} \). Таким образом, выражение становится:

\( \frac{5^{10} \cdot 3^{20}}{58 \cdot 3^{19}} \cdot \frac{3^{20} \cdot 5^{10}}{58 \cdot 3^{19}} \).

Шаг 3: Перемножаем выражения в числителе:

\( \frac{5^2 \cdot 3^{20}}{3^{19}} = 5^2 \cdot 3^{20 — 19} = 25 \cdot 3 = 75 \).

Ответ: \( 75 \).