ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 245 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сравните значения выражений:

1) 2^300 и 3^200;

2) 4^18 и 18^9;

3) 27^20 и 11^30;

4) 3^10 * 5^8 и 15^9.

1) \(2^{300} < 3^{200}\)

\((2^3)^{100} < (3^2)^{100}\)

\(8^{100} < 9^{100}.\)

2) \(4^{18} < 18^9\)

\((4^2)^9 < 18^9\)

\(16^9 < 18^9.\)

3) \(27^{20} < 11^{30}\)

\((27^2)^{10} < (11^3)^{10}\)

\(729^{10} < 1331^{10}.\)

4) \(3^{10} \cdot 5^8 < 15^9\)

\(3^2 \cdot (3 \cdot 5)^8 < 15^9\)

\(9 \cdot 15^8 < 15 \cdot 15^8.\)

1) \( 2^{300} < 3^{200} \)

Шаг 1: Начнем с того, что можно записать выражения в виде степеней:

\( 2^{300} < 3^{200} \). Мы можем выразить обе стороны с одинаковыми основаниями, если возведем обе степени в 100-ю степень:

\( (2^3)^{100} < (3^2)^{100}. \)

Шаг 2: Применяем правило возведения степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), получаем:

\( 8^{100} < 9^{100}. \)

Шаг 3: Поскольку \( 8 < 9 \), то \( 8^{100} < 9^{100} \), это верно для одинаковых показателей степени.

Ответ: \( 8^{100} < 9^{100} \).

2) \( 4^{18} < 18^9 \)

Шаг 1: Запишем выражение с одинаковыми основаниями:

\( 4^{18} < 18^9 \). Преобразуем \( 4 = 2^2 \), и получаем:

\( (4^2)^9 < 18^9 \).

Шаг 2: Применяем правило возведения степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), получаем:

\( 16^9 < 18^9. \)

Шаг 3: Поскольку \( 16 < 18 \), то \( 16^9 < 18^9 \).

Ответ: \( 16^9 < 18^9 \).

3) \( 27^{20} < 11^{30} \)

Шаг 1: Запишем выражение с одинаковыми основаниями:

\( 27^{20} < 11^{30} \). Преобразуем \( 27 = 3^3 \), и получаем:

\( (27^2)^{10} < (11^3)^{10}. \)

Шаг 2: Применяем правило возведения степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), получаем:

\( 729^{10} < 1331^{10}. \)

Шаг 3: Поскольку \( 729 < 1331 \), то \( 729^{10} < 1331^{10} \).

Ответ: \( 729^{10} < 1331^{10} \).

4) \( 3^{10} \cdot 5^8 < 15^9 \)

Шаг 1: Запишем выражение с одинаковыми основаниями:

\( 3^{10} \cdot 5^8 < 15^9 \). Мы знаем, что \( 15 = 3 \cdot 5 \), поэтому выражение становится:

\( 3^2 \cdot (3 \cdot 5)^8 < 15^9. \)

Шаг 2: Применяем правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:

\( 9 \cdot 15^8 < 15 \cdot 15^8. \)

Шаг 3: Поскольку \( 9 < 15 \), то \( 9 \cdot 15^8 < 15 \cdot 15^8 \).

Ответ: \( 9 \cdot 15^8 < 15 \cdot 15^8 \).