ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 252 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что 48^25 < 344^17.

\[48^{25} < 344^{17}\]

Представим числа в виде множителей:

\[48 = 6 \cdot 8, \quad 344 = 43 \cdot 8.\]

\[(6 \cdot 8)^{25}, \quad (43 \cdot 8)^{17},\]

получим:

\[6^{25} \cdot 8^{25} < 43^{17} \cdot 8^{17}\]

\[6^{25} \cdot 8^8 \cdot 8^{17} < 43^{17} \cdot 8^{17}\]

\[6^{25} \cdot 8^8 < 43^{17},\]

\[6^{25} \cdot 8^8 < 42^{17},\]

если бы вместо числа 43 было число 42, то:

\[6^{17} \cdot 6^8 \cdot 8^8 < 6^{17} \cdot 7^{17}\]

\[6^8 \cdot 8^8 < 7^{17}\]

\[48^8 < 7^{16} \cdot 7\]

\[48^8 < (7^2)^8 \cdot 7\]

\(48^8 < 49^8 \cdot 7\) — наглядно видно, что правая сторона больше левой (и это при том, что мы меняли 43 на 42).

1) \( 48^{25} < 344^{17} \)

Шаг 1: Представим числа в виде множителей:

\( 48 = 6 \cdot 8 \), \( 344 = 43 \cdot 8 \).

Шаг 2: Подставим эти множители в выражение, получаем:

\( (6 \cdot 8)^{25} \) и \( (43 \cdot 8)^{17} \).

Шаг 3: Раскроем степени:

\( 6^{25} \cdot 8^{25} < 43^{17} \cdot 8^{17} \).

Шаг 4: Упростим выражение, вынеся одинаковые степени с основанием 8:

\( 6^{25} \cdot 8^8 \cdot 8^{17} < 43^{17} \cdot 8^{17} \).

Шаг 5: Сокращаем одинаковые множители \( 8^{17} \) с обеих сторон:

\( 6^{25} \cdot 8^8 < 43^{17}. \)

Шаг 6: Теперь, если бы вместо числа 43 было число 42, то:

\( 6^{25} \cdot 8^8 < 42^{17}. \)

Шаг 7: Попробуем найти более явное неравенство. Раскроем выражение, где используется 42 и 43:

\( 6^{17} \cdot 6^8 \cdot 8^8 < 6^{17} \cdot 7^{17}. \)

Шаг 8: Сокращаем \( 6^{17} \) с обеих сторон:

\( 6^8 \cdot 8^8 < 7^{17}. \)

Шаг 9: Преобразуем выражение, чтобы оценить его:

\( 48^8 < 7^{16} \cdot 7. \)

Шаг 10: Перепишем его как:

\( 48^8 < (7^2)^8 \cdot 7. \)

Шаг 11: И, наконец, получаем:

\( 48^8 < 49^8 \cdot 7. \)

Шаг 12: Наглядно видно, что правая сторона больше левой (и это при том, что мы меняли 43 на 42).

Ответ: \( 48^{25} < 344^{17} \) верно, так как \( 49^8 \cdot 7 \) значительно больше, чем \( 48^8 \), что подтверждает неравенство.