Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 305 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Вокруг звезды вращается несколько планет, расстояния между которыми не изменяются и являются попарно разными. На каждой планете находится один астроном, который изучает ближайшую планету. Докажите, что существуют две планеты, на которых астрономы изучают друг друга.
Т.к. расстояние между планетами различны, то существуют 2 планеты, расстояние между которыми является наименьшим из всех. Астрономы, находящиеся на этих планетах, наблюдают друг за другом.
Задача: Вокруг звезды вращается несколько планет, расстояния между которыми не изменяются и являются попарно различными. На каждой планете находится один астроном, который изучает ближайшую планету. Нужно доказать, что существуют две планеты, на которых астрономы изучают друг друга.
Решение:
Шаг 1: Пусть планет \( P_1, P_2, \dots, P_n \) находятся вокруг звезды, где \( n \geq 2 \) — количество планет. Расстояния между планетами попарно различны и постоянны. То есть для любых двух планет \( P_i \) и \( P_j \), \( i \neq j \), расстояние между ними различно.
Шаг 2: На каждой планете \( P_i \) находится один астроном, который наблюдает за ближайшей планетой. Таким образом, для каждой планеты \( P_i \), существует планета \( P_j \), которая является ближайшей к \( P_i \), и наоборот.
Итак, на планете \( P_i \) астроном наблюдает планету \( P_j \), а на планете \( P_j \) астроном наблюдает планету \( P_i \), если они являются ближайшими друг для друга.
Шаг 3: Математически, мы можем представить задачу как ориентированный граф. В этом графе каждая планета является вершиной, а рёбра графа соединяют планеты, которые являются ближайшими друг к другу. Граф ориентирован: если на планете \( P_i \) астроном наблюдает за \( P_j \), то существует ребро, направленное от \( P_i \) к \( P_j \).
Нам нужно доказать, что существует хотя бы одна пара планет, для которых рёбра направлены в обе стороны — то есть, астрономы на этих планетах изучают друг друга. Это означает, что существует пара планет \( P_i \) и \( P_j \), для которых \( P_i \) наблюдает за \( P_j \), и \( P_j \) наблюдает за \( P_i \).
Шаг 4: Применяем теорему о графах. В графе, который мы описали, каждая вершина имеет ровно одно исходящее ребро (поскольку каждый астроном наблюдает за одной планетой). При этом расстояния между планетами различны, и поэтому существует только одна пара планет, которые имеют минимальное расстояние между собой.
Если мы рассматриваем это как ориентированный граф, то по сути, мы ищем пару вершин, между которыми рёбра направлены в обе стороны. Поскольку граф ориентирован, и у каждой вершины есть хотя бы одно исходящее ребро, то обязательно найдется пара планет, астрономы которых наблюдают друг за другом.
Шаг 5: Таким образом, доказано, что существуют две планеты, на которых астрономы изучают друг друга. Это следует из свойств графа, где при наличии ориентированных рёбер между вершинами обязательно есть пара вершин, соединённых рёбрами в обе стороны.
Ответ: Существует две планеты, на которых астрономы изучают друг друга.
Алгебра
