Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 402 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Замените степень произведением, а затем произведение преобразуйте в многочлен:
1) (а + 5)2;
2) (4 — 3b)2;
3) (а + b +с)2;
4) (а — b)3.
1) \((a + 5)^2 = (a + 5)(a + 5) = a^2 + 5a + 5a + 25 = a^2 + 10a + 25;\)
2) \((4 — 3b)^2 = (4 — 3b)(4 — 3b) = 16 — 12b — 12b + 9b^2 =\)
\(= 16 — 24b + 9b^2;\)
3) \((a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c) = a^2 + ab + ac + ab + b^2 +\)
\(+ bc + ac + bc + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc;\)
4) \((a — b)^3 = (a — b)(a — b)(a — b) = (a^2 — ab — ab + b^2)(a — b) =\)
\((a^2 — 2ab + b^2)(a — b) = a^3 — a^2b — 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 — b^3 =\)
\(= a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3.\)
Рассмотрим первое выражение: \((a + 5)^2\). Начнём с раскрытия скобок.
Шаг 1: Раскрываем скобки \((a + 5)(a + 5)\). Для этого применяем формулу квадрата суммы:
\((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\). В данном случае \(x = a\), а \(y = 5\).
В результате умножения получаем: \(a^2 + 5a + 5a + 25\). Мы умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй.
Шаг 2: Объединяем одинаковые члены. В выражении \(a^2 + 5a + 5a + 25\) два члена \(5a\), которые можно сложить. Получаем:
\(a^2 + 10a + 25\).
Таким образом, раскрыв скобки, мы получаем итоговое выражение:
\(a^2 + 10a + 25\).
Теперь перейдём ко второму выражению: \((4 — 3b)^2\). Раскроем скобки.
Шаг 1: Раскрываем скобки \((4 — 3b)(4 — 3b)\). Это также квадрат разности, который раскрывается по формуле:
\((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\), где \(x = 4\), а \(y = 3b\).
Умножаем каждый элемент первой скобки на каждый элемент второй скобки:
\(16 — 12b — 12b + 9b^2\).
Шаг 2: Сводим одинаковые члены. В выражении \(-12b — 12b\) получаем \(-24b\), так что итоговое выражение:
\(16 — 24b + 9b^2\).
Ответ: \(16 — 24b + 9b^2\).
Переходим к третьему выражению: \((a + b + c)^2\). Это выражение состоит из трех слагаемых, поэтому потребуется больше шагов для раскрытия.
Шаг 1: Раскрываем скобки \((a + b + c)(a + b + c)\). Здесь мы будем умножать каждое слагаемое на все остальные слагаемые, то есть:
\(a \cdot (a + b + c) + b \cdot (a + b + c) + c \cdot (a + b + c)\).
Шаг 2: Выполняем умножение:
\(a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2\).
Шаг 3: Сводим одинаковые члены. Мы видим, что \(ab\) и \(ac\) встречаются дважды, так что:
\(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\).
Ответ: \(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\).
Теперь рассмотрим четвёртое выражение: \((a — b)^3\). Это куб, который можно раскрыть с использованием формулы для куба разности:
\((x — y)^3 = x^3 — 3x^2y + 3xy^2 — y^3\).
Шаг 1: Сначала раскрываем квадрат \((a — b)(a — b)\), используя формулу квадрата разности:
\((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\).
Получаем: \(a^2 — 2ab + b^2\).
Шаг 2: Теперь умножаем полученное выражение на \((a — b)\):
\((a^2 — 2ab + b^2)(a — b)\).
Выполняем умножение:
\(a^2(a — b) — 2ab(a — b) + b^2(a — b)\).
Шаг 3: Умножаем каждое слагаемое:
\(a^3 — a^2b — 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 — b^3\).
Шаг 4: Сводим одинаковые члены. Мы видим, что \(-a^2b\) и \(-2a^2b\) можно объединить, а также \(ab^2\) и \(ab^2\) можно сложить. Таким образом, получаем:
\(a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\).
Ответ: \(a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\).
Алгебра
