ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 403 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при любом значении переменной значение выражения (х + 3)(х2 — 4х + 7) — (х2 — 5)(х — 1) равно 16.

\((x + 3)(x^2 — 4x + 7) — (x^2 — 5)(x — 1) = x^3 — 4x^2 + 7x + 3x^2 — 12x + 21 -\)

\(-x^3 + x^2 + 5x — 5 = 16 — \text{что и требовалось доказать.}\)

Рассмотрим выражение:

\((x + 3)(x^2 — 4x + 7) — (x^2 — 5)(x — 1)\)

Шаг 1: Раскроем скобки в первом выражении \((x + 3)(x^2 — 4x + 7)\).

Для этого используем распределительный закон:

\( (x + 3)(x^2 — 4x + 7) = x(x^2 — 4x + 7) + 3(x^2 — 4x + 7) \)

Теперь раскроем каждую из этих скобок поочередно:

\( x(x^2 — 4x + 7) = x^3 — 4x^2 + 7x \)

\( 3(x^2 — 4x + 7) = 3x^2 — 12x + 21 \)

Итак, первое выражение будет равно:

\( x^3 — 4x^2 + 7x + 3x^2 — 12x + 21 \)

Шаг 2: Раскроем скобки во втором выражении \((x^2 — 5)(x — 1)\).

Используем распределительный закон для второго выражения:

\( (x^2 — 5)(x — 1) = x^2(x — 1) — 5(x — 1) \)

Теперь раскроем каждую из этих скобок:

\( x^2(x — 1) = x^3 — x^2 \)

\( -5(x — 1) = -5x + 5 \)

Итак, второе выражение будет равно:

\( x^3 — x^2 — 5x + 5 \)

Шаг 3: Теперь вычитаем второе выражение из первого.

Подставляем наши результаты в исходное уравнение:

\( (x + 3)(x^2 — 4x + 7) — (x^2 — 5)(x — 1) = (x^3 — 4x^2 + 7x + 3x^2 -\)

\(-12x + 21) — (x^3 — x^2 — 5x + 5) \)

Теперь выполняем вычитание:

\( x^3 — 4x^2 + 7x + 3x^2 — 12x + 21 — x^3 + x^2 + 5x — 5 \)

Группируем подобные слагаемые:

\( (x^3 — x^3) + (-4x^2 + 3x^2 + x^2) + (7x — 12x + 5x) + (21 — 5) \)

Проводим вычисления:

\( 0x^3 + 0x^2 + 0x + 16 \)

Шаг 4: Получаем окончательное уравнение.

После вычитания, получаем:

\( -x^3 + x^2 + 5x — 5 = 16 \)

Шаг 5: Доказательство.

Таким образом, мы показали, что:

\( -x^3 + x^2 + 5x — 5 = 16 \)

Что и требовалось доказать.