Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 413 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите тождество:
1) 3а2 + 10а + 3 = 3(а + 3)(a+1/3);
2) (а + 1)(а2 + 5а + 6) = (а2 + 3а + 2)(а + 3);
3) (а + 1)(а4 — а3 + а2 — а + 1) = а5 + 1.
1) \[3a^2 + 10a + 3 = 3(a + 3)\left(a + \frac{1}{3}\right)\]
\[
3a^2 + 10a + 3 = 3\left(a^2 + \frac{1}{3}a + 3a + 1\right)
\]
\[
3a^2 + 10a + 3 = 3a^2 + a + 9a + 3
\]
\[
3a^2 + 10a + 3 = 3a^2 + 10a + 3.
\]
2) \[(a + 1)(a^2 + 5a + 6) = (a^2 + 3a + 2)(a + 3)\]
\[
a^3 + 5a^2 + 6a + a^2 + 5a + 6 = a^3 + 3a^2 + 3a^2 + 9a + 2a + 6
\]
\[
a^3 + 6a^2 + 11a + 6 = a^3 + 6a^2 + 11a + 6.
\]
3) \[(a + 1)(a^4 — a^3 + a^2 — a + 1) = a^5 + 1\]
\[
a^5 + a^4 — a^3 + a^2 + a + a^4 — a^3 + a^2 — a + 1 = a^5 + 1
\]
\[
a^5 + 1 = a^5 + 1.
\]
\( 3a^2 + 10a + 3 = 3(a + 3)\left(a + \frac{1}{3}\right) \)
Шаг 1: Раскрываем скобки на правой стороне. Начнем с умножения 3 на каждый из членов в скобках:
Раскроем правую часть уравнения: \( 3(a + 3)\left(a + \frac{1}{3}\right) \). Умножаем 3 на \(a\) и на 3:
\( 3 \cdot a = 3a \), \( 3 \cdot 3 = 9 \)
Далее умножаем 3 на \( \left(a + \frac{1}{3}\right) \):
\( 3 \cdot a = 3a \), \( 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 \)
Теперь имеем: \( 3a^2 + 10a + 3 = 3a^2 + a + 9a + 3 \)
Шаг 2: Приводим подобные члены с правой стороны:
На правой стороне у нас \( a \) и \( 9a \), сложим их:
\( 3a^2 + 10a + 3 = 3a^2 + 10a + 3 \)
Шаг 3: Проверяем, равны ли обе стороны уравнения:
Мы видим, что слева и справа у нас одинаковые выражения. Следовательно, равенство выполняется.
\( (a + 1)(a^2 + 5a + 6) = (a^2 + 3a + 2)(a + 3) \)
Шаг 1: Раскрываем скобки с левой стороны:
Распишем произведение: \( (a + 1)(a^2 + 5a + 6) \)
Умножаем \(a\) на каждый элемент из скобок:
\( a \cdot a^2 = a^3 \), \( a \cdot 5a = 5a^2 \), \( a \cdot 6 = 6a \)
Теперь умножаем 1 на каждый элемент из скобок:
\( 1 \cdot a^2 = a^2 \), \( 1 \cdot 5a = 5a \), \( 1 \cdot 6 = 6 \)
Итак, левая сторона: \( a^3 + 5a^2 + 6a + a^2 + 5a + 6 \)
Шаг 2: Раскрываем скобки с правой стороны:
Распишем произведение: \( (a^2 + 3a + 2)(a + 3) \)
Умножаем \( a^2 \) на каждый элемент из скобок:
\( a^2 \cdot a = a^3 \), \( a^2 \cdot 3 = 3a^2 \)
Теперь умножаем \( 3a \) на каждый элемент из скобок:
\( 3a \cdot a = 3a^2 \), \( 3a \cdot 3 = 9a \)
Теперь умножаем \( 2 \) на каждый элемент из скобок:
\( 2 \cdot a = 2a \), \( 2 \cdot 3 = 6 \)
Итак, правая сторона: \( a^3 + 3a^2 + 3a^2 + 9a + 2a + 6 \)
Шаг 3: Приводим подобные члены с обеих сторон:
На левой стороне: \( a^3 + 6a^2 + 11a + 6 \)
На правой стороне: \( a^3 + 6a^2 + 11a + 6 \)
Шаг 4: Мы видим, что обе стороны равны, следовательно, равенство выполняется.
\( (a + 1)(a^4 — a^3 + a^2 — a + 1) = a^5 + 1 \)
Шаг 1: Раскрываем скобки с левой стороны:
Распишем произведение: \( (a + 1)(a^4 — a^3 + a^2 — a + 1) \)
Умножаем \( a \) на каждый элемент из скобок:
\( a \cdot a^4 = a^5 \), \( a \cdot (-a^3) = -a^4 \), \( a \cdot a^2 = a^3 \), \( a \cdot (-a) = -a^2 \), \( a \cdot 1 = a \)
Теперь умножаем 1 на каждый элемент из скобок:
\( 1 \cdot a^4 = a^4 \), \( 1 \cdot (-a^3) = -a^3 \), \( 1 \cdot a^2 = a^2 \), \( 1 \cdot (-a) = -a \), \( 1 \cdot 1 = 1 \)
Итак, левая сторона: \( a^5 — a^4 + a^3 — a^2 + a + a^4 — a^3 + a^2 — a + 1 \)
Шаг 2: Приводим подобные члены с левой стороны:
Преобразуем: \( a^5 + 0a^4 + 0a^3 + 0a^2 + a + 1 \)
Шаг 3: Сравниваем левую и правую стороны:
Левая сторона: \( a^5 + 1 \)
Правая сторона: \( a^5 + 1 \)
Шаг 4: Мы видим, что обе стороны равны, следовательно, равенство выполняется.
Алгебра
