ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 414 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При всех ли натуральных значениях n значение выражения (n + 9)(n + 11) — (n + 3)(n + 5) кратно 12?

\[
(n + 9)(n + 11) — (n + 3)(n + 5) = n^2 + 11n + 9n + 99 — n^2 — 5n — \]

\(-3n — 15 = 12n + 84 = 12 \cdot (n + 7)\)— кратно 12, так как один из множителей делится на 12.

\( (n + 9)(n + 11) — (n + 3)(n + 5) = n^2 + 11n + 9n + 99 — n^2 — 5n -\)

\(-3n — 15 \)

Шаг 1: Раскрываем скобки с левой стороны. Начнем с умножения каждого члена в первом и втором произведениях:

\( (n + 9)(n + 11) \) распишем как:

\( n \cdot n + n \cdot 11 + 9 \cdot n + 9 \cdot 11 = n^2 + 11n + 9n + 99 \)

Теперь раскрываем второе произведение \( (n + 3)(n + 5) \):

\( n \cdot n + n \cdot 5 + 3 \cdot n + 3 \cdot 5 = n^2 + 5n + 3n + 15 \)

Шаг 2: Подставляем раскрытые выражения в исходное уравнение:

\( n^2 + 11n + 9n + 99 — n^2 — 5n — 3n — 15 \)

Шаг 3: Сокращаем одинаковые члены. У нас есть \( n^2 \) и \( -n^2 \), они сокращаются:

\( 11n + 9n — 5n — 3n + 99 — 15 \)

Шаг 4: Приводим подобные члены:

\( 12n + 84 \)

Шаг 5: Мы видим, что \( 12n + 84 \) можно вынести за скобки:

\( 12 \cdot (n + 7) \)

Шаг 6: Учитывая, что один из множителей равен 12, можно сказать, что выражение кратно 12.