ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 415 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При всех ли натуральных значениях n значение выражения (n + 29) (n + 3) — (n + 7)(n + 1) кратно 8?

\[
(n + 29)(n + 3) — (n + 7)(n + 1) = n^2 + 3n + 29n + 87 — (n^2 + n + \]

\[+7n + 7)= n^2 + 32n + 87 — n^2 — 8n — 7\]

\[
= 24n + 80 = 8 \cdot (3n + 10) \to
\]

кратно 8, так как один из множителей кратен 8.

\( (n + 29)(n + 3) — (n + 7)(n + 1) = n^2 + 3n + 29n + 87 — (n^2 +\)

\(+n + 7n + 7) \)

Шаг 1: Раскрываем скобки с левой стороны. Начнем с умножения каждого члена в первом и втором произведениях:

\( (n + 29)(n + 3) \) распишем как:

\( n \cdot n + n \cdot 3 + 29 \cdot n + 29 \cdot 3 = n^2 + 3n + 29n + 87 \)

Теперь раскрываем второе произведение \( (n + 7)(n + 1) \):

\( n \cdot n + n \cdot 1 + 7 \cdot n + 7 \cdot 1 = n^2 + n + 7n + 7 \)

Шаг 2: Подставляем раскрытые выражения в исходное уравнение:

\( n^2 + 3n + 29n + 87 — (n^2 + n + 7n + 7) \)

Шаг 3: Раскрываем скобки, учитывая знак минус перед вторым произведением:

\( n^2 + 3n + 29n + 87 — n^2 — n — 7n — 7 \)

Шаг 4: Сокращаем одинаковые члены. У нас есть \( n^2 \) и \( -n^2 \), которые сокращаются:

\( 3n + 29n — n — 7n + 87 — 7 \)

Шаг 5: Приводим подобные члены:

\( 32n + 80 \)

Шаг 6: Мы видим, что \( 32n + 80 \) можно вынести за скобки:

\( 8 \cdot (3n + 10) \)

Шаг 7: Учитывая, что один из множителей равен 8, можно сказать, что выражение кратно 8.