ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 420 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения ab * ba- ab делится нацело на 10 независимо от значений а и b.

\[
\overline{ab} \cdot \overline{ba} — ab = (10a + b)(10b + a) — ab = 100ab + 10a^2 + \]

\[+10b^2 + ab — ab = 10a^2 + 100ab + 10b^2 = 10 \cdot (a^2 + 10ab + b^2)
\]

делится нацело на 10, так как один из множителей делится на 10.

\( \overline{ab} \cdot \overline{ba} — ab = (10a + b)(10b + a) — ab = 100ab + 10a^2 + 10b^2 + ab — ab \)

Шаг 1: Раскрываем скобки в выражении \( (10a + b)(10b + a) \).

Это произведение двух двузначных чисел, где \( \overline{ab} \) — это число, состоящее из цифр \(a\) и \(b\), а \( \overline{ba} \) — это число с теми же цифрами, но в обратном порядке. Мы раскрываем скобки, применяя распределительный закон:

\( (10a + b)(10b + a) \)

Раскрываем скобки по аналогии с формулой \( (x + y)(z + w) = xz + xw + yz + yw \), где:

\( x = 10a, y = b, z = 10b, w = a \)

Умножаем каждый элемент из первого множителя на каждый элемент из второго множителя:

• \( 10a \cdot 10b = 100ab \)
• \( 10a \cdot a = 10a^2 \)
• \( b \cdot 10b = 10b^2 \)
• \( b \cdot a = ab \)

Итак, раскрытие скобок даёт следующее выражение:

\( 100ab + 10a^2 + 10b^2 + ab \)

Шаг 2: Подставляем это выражение в исходное уравнение:

\( 100ab + 10a^2 + 10b^2 + ab — ab \)

Шаг 3: Убираем одинаковые члены. У нас есть два одинаковых члена \( ab \) и \( -ab \), которые взаимно уничтожаются:

\( 100ab + 10a^2 + 10b^2 \)

Шаг 4: Теперь можно вынести 10 за скобки, так как все члены в выражении кратны 10:

\( 10 \cdot (10ab + a^2 + b^2) \)

Шаг 5: Теперь мы видим, что выражение делится нацело на 10, так как множитель 10 находится перед скобками и делится на 10.

Ответ: выражение делится нацело на 10.