Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 428 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите тождество:
1) 18^16n = 12^8n * 9^12n;
2) 75^8n = 225^4n * 625^2n,
где n — натуральное число.
1) \( 18^{16n} = 12^{8n} \cdot 9^{12n} \)
\[
(2 \cdot 3 \cdot 3)^{16n} = (2 \cdot 2 \cdot 3)^{8n} \cdot (3 \cdot 3)^{12n}
\]
\[
2^{16n} \cdot (3^2)^{16n} = (2^2)^{8n} \cdot 3^{8n} \cdot (3^2)^{12n}
\]
\[
2^{16n} \cdot 3^{32n} = 2^{16n} \cdot 3^{8n} \cdot 3^{24n}
\]
\[
2^{16n} \cdot 3^{32n} = 2^{16n} \cdot 3^{32n} \quad \text{→ тождество верно.}
\]
2) \( 75^{8n} = 225^{4n} \cdot 625^{2n} \)
\[
(3 \cdot 5 \cdot 5)^{8n} = (3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5)^{4n} \cdot (5^4)^{2n}
\]
\[
3^{8n} \cdot (5^2)^{8n} = (3^2)^{4n} \cdot (5^2)^{4n} \cdot 5^{8n}
\]
\[
3^{8n} \cdot 5^{16n} = 3^{8n} \cdot 5^{8n} \cdot 5^{8n}
\]
\[
3^{8n} \cdot 5^{16n} = 3^{8n} \cdot 5^{16n} \quad \text{→ тождество верно.}
\]
Задача 1: \( 18^{16n} = 12^{8n} \cdot 9^{12n} \)
Шаг 1: Разлагаем числа на простые множители:
\( 18 = 2 \cdot 3^2, \, 12 = 2^2 \cdot 3, \, 9 = 3^2 \)
Подставляем разложенные множители в исходное уравнение:
\( (2 \cdot 3^2)^{16n} = (2^2 \cdot 3)^{8n} \cdot (3^2)^{12n} \)
Шаг 2: Раскрываем степени и применяем свойства степеней:
\( 2^{16n} \cdot (3^2)^{16n} = (2^2)^{8n} \cdot 3^{8n} \cdot (3^2)^{12n} \)
Дальше раскрываем степени для каждого из множителей:
\( 2^{16n} \cdot 3^{32n} = 2^{16n} \cdot 3^{8n} \cdot 3^{24n} \)
Шаг 3: Приводим подобные члены:
\( 2^{16n} \cdot 3^{32n} = 2^{16n} \cdot 3^{32n} \)
Шаг 4: Убедились, что обе стороны равны, тождество верно.
Ответ: Тождество верно.
Задача 2: \( 75^{8n} = 225^{4n} \cdot 625^{2n} \)
Шаг 1: Разлагаем числа на простые множители:
\( 75 = 3 \cdot 5^2, \, 225 = 3^2 \cdot 5^2, \, 625 = 5^4 \)
Подставляем разложенные множители в исходное уравнение:
\( (3 \cdot 5^2)^{8n} = (3^2 \cdot 5^2)^{4n} \cdot (5^4)^{2n} \)
Шаг 2: Раскрываем степени и применяем свойства степеней:
\( 3^{8n} \cdot (5^2)^{8n} = (3^2)^{4n} \cdot (5^2)^{4n} \cdot 5^{8n} \)
Дальше раскрываем степени для каждого из множителей:
\( 3^{8n} \cdot 5^{16n} = 3^{8n} \cdot 5^{8n} \cdot 5^{8n} \)
Шаг 3: Приводим подобные члены:
\( 3^{8n} \cdot 5^{16n} = 3^{8n} \cdot 5^{16n} \)
Шаг 4: Убедились, что обе стороны равны, тождество верно.
Ответ: Тождество верно.
Алгебра
