Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 453 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения:
1) 19^5 + 19^4 кратно 20;
2) 8^10 — 8^9 — 8^8 кратно 11;
3) 8^7 + 2^15 кратно 5;
4) 2 * 3^2006 + 5 * 3^2005 + 7 * 3^2004 кратно 10;
5) 27^4 — 9^5 кратно 24;
6) 12^4 — 4^6 кратно 130.
1) \(19^5 + 19^4 = 19^4(19 + 1) = 19^4 \cdot 20 \rightarrow\) кратно 20;
2) \(8^{10} — 8^9 — 8^8 = 8^8(8^2 — 8 — 1) = 8^8(64 — 9) = 8^8 \cdot 55 \rightarrow\) кратно 11;
3) \(8^7 + 2^{15} = (2^3)^7 + 2^{15} = 2^{21} + 2^{15} = 2^{15}(2^6 + 1) =\)
\(2^{15} \cdot (64 + 1) = 2^{15} \cdot 65 \rightarrow\) кратно 5;
4) \(2 \cdot 3^{2006} + 5 \cdot 3^{2005} + 7 \cdot 3^{2004} = 3^{2004} \cdot (2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 + 7) = 3^{2004}\)
\(\cdot (2 \cdot 9 + 15 + 7) = 3^{2004} \cdot (18 + 22) = 3^{2004} \cdot 40 \rightarrow\) кратно 10;
5) \(27^4 — 9^5 = (3^3)^4 — (3^2)^5 = 3^{12} — 3^{10} = 3^{10} \cdot (3^2 — 1) = 3^{10} \cdot (9 — 1) =\)
\(3^{10} \cdot 8 = 3^9 \cdot 3 \cdot 8 = 3^9 \cdot 24 \rightarrow\) кратно 24;
6) \(12^4 — 4^6 = (2^2 \cdot 3)^4 — (2^2)^6 = 2^8 \cdot 3^4 — 2^{12} = 2^8 \cdot (3^4 — 2^4) = 2^8 \cdot (81 — 16) =\)
\(2^8 \cdot 65 = 2^7 \cdot 2 \cdot 65 = 2^7 \cdot 130 \rightarrow\) кратно 130.
Шаг 1: \( 19^5 + 19^4 = 19^4(19 + 1) = 19^4 \cdot 20 \rightarrow \) кратно 20;
Исходное выражение:
\( 19^5 + 19^4 \)
Мы выделили общий множитель \( 19^4 \), получив:
\( 19^5 + 19^4 = 19^4(19 + 1) = 19^4 \cdot 20 \)
Очевидно, что выражение кратно \( 20 \), так как результат содержит множитель \( 20 \).
Ответ: Кратно 20.
Шаг 2: \( 8^{10} — 8^9 — 8^8 = 8^8(8^2 — 8 — 1) = 8^8(64 — 9) = 8^8 \cdot 55 \rightarrow \) кратно 11;
Исходное выражение:
\( 8^{10} — 8^9 — 8^8 \)
Мы выделили общий множитель \( 8^8 \), получив:
\( 8^{10} — 8^9 — 8^8 = 8^8(8^2 — 8 — 1) = 8^8(64 — 9) = 8^8 \cdot 55 \)
Здесь \( 55 \) — это число, которое делится на \( 11 \), значит, выражение кратно \( 11 \).
Ответ: Кратно 11.
Шаг 3: \( 8^7 + 2^{15} = (2^3)^7 + 2^{15} = 2^{21} + 2^{15} = 2^{15}(2^6 + 1) = 2^{15} \cdot (64 + 1) = 2^{15} \cdot 65 \rightarrow \) кратно 5;
Исходное выражение:
\( 8^7 + 2^{15} \)
Мы представили \( 8^7 \) как \( (2^3)^7 = 2^{21} \), и затем выделили общий множитель \( 2^{15} \):
\( 8^7 + 2^{15} = 2^{21} + 2^{15} = 2^{15}(2^6 + 1) = 2^{15} \cdot (64 + 1) = 2^{15} \cdot 65 \)
Так как \( 65 \) делится на \( 5 \), выражение кратно \( 5 \).
Ответ: Кратно 5.
Шаг 4: \( 2 \cdot 3^{2006} + 5 \cdot 3^{2005} + 7 \cdot 3^{2004} = 3^{2004} \cdot (2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 + 7) = 3^{2004} \cdot\)
\((2 \cdot 9 + 15 + 7) = 3^{2004} \cdot (18 + 22) = 3^{2004} \cdot 40 \rightarrow \) кратно 10;
Исходное выражение:
\( 2 \cdot 3^{2006} + 5 \cdot 3^{2005} + 7 \cdot 3^{2004} \)
Мы выделили общий множитель \( 3^{2004} \):
\( 2 \cdot 3^{2006} + 5 \cdot 3^{2005} + 7 \cdot 3^{2004} = 3^{2004} \cdot (2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 + 7) = 3^{2004} \)
\(\cdot (2 \cdot 9 + 15 + 7) = 3^{2004} \cdot (18 + 22) = 3^{2004} \cdot 40 \)
Так как \( 40 \) делится на \( 10 \), выражение кратно \( 10 \).
Ответ: Кратно 10.
Шаг 5: \( 27^4 — 9^5 = (3^3)^4 — (3^2)^5 = 3^{12} — 3^{10} = 3^{10} \cdot (3^2 — 1) = 3^{10} \cdot (9 — 1) = 3^{10} \)
\(\cdot 8 = 3^9 \cdot 3 \cdot 8 = 3^9 \cdot 24 \rightarrow \) кратно 24;
Исходное выражение:
\( 27^4 — 9^5 \)
Мы представили \( 27^4 \) как \( (3^3)^4 \) и \( 9^5 \) как \( (3^2)^5 \), затем выделили общий множитель \( 3^{10} \):
\( 27^4 — 9^5 = (3^3)^4 — (3^2)^5 = 3^{12} — 3^{10} = 3^{10} \cdot (3^2 — 1) = 3^{10} \cdot (9 — 1) = 3^{10}\)
\(\cdot 8 = 3^9 \cdot 3 \cdot 8 = 3^9 \cdot 24 \)
Так как \( 24 \) делится на \( 24 \), выражение кратно \( 24 \).
Ответ: Кратно 24.
Шаг 6: \( 12^4 — 4^6 = (2^2 \cdot 3)^4 — (2^2)^6 = 2^8 \cdot 3^4 — 2^{12} = 2^8 \cdot (3^4 — 2^4) = 2^8 \cdot (81 — 16) = \)
\(=2^8 \cdot 65 = 2^7 \cdot 2 \cdot 65 = 2^7 \cdot 130 \rightarrow \) кратно 130;
Исходное выражение:
\( 12^4 — 4^6 \)
Мы представили \( 12^4 \) как \( (2^2 \cdot 3)^4 \) и \( 4^6 \) как \( (2^2)^6 \), затем выделили общий множитель \( 2^8 \):
\( 12^4 — 4^6 = (2^2 \cdot 3)^4 — (2^2)^6 = 2^8 \cdot 3^4 — 2^{12} = 2^8 \cdot (3^4 — 2^4) = 2^8 \cdot (81 — 16) = \)
\(=2^8 \cdot 65 = 2^7 \cdot 2 \cdot 65 = 2^7 \cdot 130 \)
Так как \( 130 \) делится на \( 130 \), выражение кратно \( 130 \).
Ответ: Кратно 130.
Алгебра
