Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 454 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения:
1) 25^25 — 25^24 делится нацело на 12;
2) 16^4 + 8^5 — 4^7 делится нацело на 10;
3) 36^5 + 6^9 делится нацело на 42;
4) 10^5 — 5^7 делится нацело на 7.
1) \(25^{25} — 25^{24} = 25^{24} \cdot (25 — 1) = 25^{24} \cdot 24\) — так как число 24 делится нацело на 12, то и всё выражение делится нацело на 12.
2) \(16^4 + 8^5 — 4^7 = (2^4)^4 + (2^3)^5 — (2^2)^7 = 2^{16} + 2^{15} — 2^{14} = 2^{14} \cdot (2^2 +\)
\(+2 — 1) = 2^{14} \cdot (4 + 1) = 2^{14} \cdot 5 = 2^{13} \cdot 2 \cdot 5 = 2^{13} \cdot 10\) — так как один из множителей делится нацело на 10, то всё выражение делится на 10.
3) \(36^5 + 6^9 = (6^2)^5 + 6^9 = 6^{10} + 6^9 = 6^9 \cdot (6 + 1) = 6^9 \cdot 7 = 6^8 \cdot 6 \cdot 7 = 6^8 \cdot 42\) — так как один из множителей делится нацело на 42, то и всё выражение делится на 42.
4) \(10^5 — 5^7 = (2 \cdot 5)^5 — 5^7 = 2^5 \cdot 5^5 — 5^7 = 5^5 \cdot (2^5 — 5^2) = 5^5 \cdot (32 — 25) = \)
\(=5^5 \cdot 7\) — так как число 7 делится нацело на 7, то и всё выражение делится на 7.
Шаг 1: \( 25^{25} — 25^{24} = 25^{24} \cdot (25 — 1) = 25^{24} \cdot 24 \)
Исходное выражение:
\( 25^{25} — 25^{24} \)
Здесь мы выделяем общий множитель \( 25^{24} \):
\( 25^{25} — 25^{24} = 25^{24} \cdot (25 — 1) = 25^{24} \cdot 24 \)
Число \( 24 \) делится нацело на \( 12 \), следовательно, и всё выражение делится нацело на \( 12 \).
Ответ: Кратно 12.
Шаг 2: \( 16^4 + 8^5 — 4^7 = (2^4)^4 + (2^3)^5 — (2^2)^7 = 2^{16} + 2^{15} — 2^{14} = 2^{14} \cdot (2^2 +\)
\( +2 — 1) = 2^{14} \cdot (4 + 1) = 2^{14} \cdot 5 = 2^{13} \cdot 2 \cdot 5 = 2^{13} \cdot 10 \)
Исходное выражение:
\( 16^4 + 8^5 — 4^7 \)
Мы представляем каждое число через степень двойки, затем выделяем общий множитель \( 2^{14} \):
\( = 2^{16} + 2^{15} — 2^{14} = 2^{14} \cdot (2^2 + 2 — 1) = 2^{14} \cdot 5 = 2^{13} \cdot 2 \cdot 5 = 2^{13} \cdot 10 \)
Так как один из множителей делится нацело на \( 10 \), то всё выражение делится на \( 10 \).
Ответ: Кратно 10.
Шаг 3: \( 36^5 + 6^9 = (6^2)^5 + 6^9 = 6^{10} + 6^9 = 6^9 \cdot (6 + 1) = 6^9 \cdot 7 = 6^8 \cdot 6 \cdot 7 = 6^8 \cdot 42 \)
Исходное выражение:
\( 36^5 + 6^9 \)
Мы представляем \( 36 \) как \( 6^2 \) и получаем общий множитель \( 6^9 \):
\( = (6^2)^5 + 6^9 = 6^{10} + 6^9 = 6^9 \cdot (6 + 1) = 6^9 \cdot 7 = 6^8 \cdot 6 \cdot 7 = 6^8 \cdot 42 \)
Так как один из множителей делится на \( 42 \), то всё выражение делится на \( 42 \).
Ответ: Кратно 42.
Шаг 4: \( 10^5 — 5^7 = (2 \cdot 5)^5 — 5^7 = 2^5 \cdot 5^5 — 5^7 = 5^5 \cdot (2^5 — 5^2) = 5^5 \cdot (32 — 25) = \)
\( =5^5 \cdot 7 \)
Исходное выражение:
\( 10^5 — 5^7 \)
Мы представляем \( 10^5 \) как \( (2 \cdot 5)^5 \), затем выделяем общий множитель \( 5^5 \):
\( = (2 \cdot 5)^5 — 5^7 = 2^5 \cdot 5^5 — 5^7 = 5^5 \cdot (2^5 — 5^2) = 5^5 \cdot (32 — 25) = 5^5 \cdot 7 \)
Так как число \( 7 \) делится нацело на \( 7 \), то и всё выражение делится на \( 7 \).
Ответ: Кратно 7.
Алгебра
