Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 601 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Древнегреческий учёный Евклид (III в. до н. э.) доказывал формулы квадрата суммы и квадрата разности геометрически. Пользуясь рисунками 5 и 6, восстановите его доказательство.
Рисунок 5.
Чтобы найти площадь всего квадрата, нужно найти площадь квадрата со стороной \(a\), прибавить к нему площадь двух прямоугольников со сторонами \(a\) и \(b\), и прибавить площадь маленького квадрата со стороной \(b\).
Получим:
\[
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
\]
Рисунок 6.
Чтобы найти площадь среднего квадрата, нужно:
\[
(a — b)(a + b) = a^2 — ab — ab + b^2 = a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2
\]
Рисунок 5.
Для того чтобы найти площадь всего квадрата, рассмотрим его составные части:
Шаг 1: Площадь большого квадрата со стороной \(a + b\). Мы знаем, что площадь квадрата равна квадрату его стороны. Следовательно, площадь этого квадрата будет равна \((a + b)^2\).
Шаг 2: Теперь давайте разложим \((a + b)^2\) с помощью формулы раскрытия квадрата суммы:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Шаг 3: Площадь квадрата со стороной \(a\) равна \(a^2\).
Шаг 4: Далее, чтобы учесть два прямоугольника, один с длиной \(a\) и шириной \(b\), а другой с такой же длиной \(a\) и шириной \(b\), то их суммарная площадь будет \(2ab\).
Шаг 5: Площадь маленького квадрата со стороной \(b\) равна \(b^2\).
Итак: Суммируем все площади: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\).
Рисунок 6.
Теперь рассмотрим второй квадрат, для которого нужно использовать разность двух выражений:
Шаг 1: Для нахождения площади среднего квадрата воспользуемся разностью \((a — b)(a + b)\). Эта формула представляет собой разность квадратов: \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\), поскольку \((x — y)(x + y) = x^2 — y^2\).
Шаг 2: Однако здесь у нас не только выражения, соответствующие разности квадратов. Развернем это произведение подробнее:
\((a — b)(a + b) = a^2 — ab — ab + b^2 = a^2 — 2ab + b^2\).
Шаг 3: В результате получаем: \(a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2\). Это и есть формула квадрата разности, которая раскрывается аналогично формуле квадрата суммы, только с минусом перед попарными произведениями.
Алгебра
