ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 665 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Числа а, b и с таковы, что а2 + b2 + с2 — ab — ас — bс = 0. Чему равно значение выражения а + b — 2с?

Если $$$a^2 + b^2 + c^2 — ab — ac — bc = 0,$то:

$$$a^2 + b^2 + c^2 — ab — ac — bc = 0 \quad | \cdot 2$

$$$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 — 2ab — 2ac — 2bc = 0$

$(a^2 — 2ab + b^2) + (b^2 — 2bc + c^2) + (a^2 — 2ac + c^2) = 0$

$(a — b)^2 + (b — c)^2 + (a — c)^2 = 0$;

значит, $$$a = b = c.$

Следовательно:
$a + b — 2c = c + c — 2c = 0.$

Ответ: $$$a + b — 2c = 0.$

Рассмотрим выражение:

$$a^2 + b^2 + c^2 — ab — ac — bc = 0$$

Шаг 1. Умножим обе части уравнения на 2

Это делается для того, чтобы избавиться от дробных коэффициентов в дальнейшем при приведении к полным квадратам:

$$(a^2 + b^2 + c^2 — ab — ac — bc) \cdot 2 = 0 \cdot 2$$ $$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 — 2ab — 2ac — 2bc = 0$$

Шаг 2. Группируем выражения по парам, чтобы привести к квадратам разностей

Цель — сгруппировать члены так, чтобы они напоминали формулу квадрата разности:

• Формула:

  $$(x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2$$

Пока перепишем исходное выражение, чтобы сгруппировать его так:

$$(2a^2 — 2ab + 2b^2) + (2b^2 — 2bc + 2c^2) + (2a^2 — 2ac + 2c^2)$$

Однако тут дублируются слагаемые. Мы хотим получить:

$$(a^2 — 2ab + b^2) + (b^2 — 2bc + c^2) + (a^2 — 2ac + c^2)$$

Чтобы получить это, вернёмся к:

$$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 — 2ab — 2ac — 2bc$$

Разобьём на группы:

• $a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2$
• $b^2 — 2bc + c^2 = (b — c)^2$
• $a^2 — 2ac + c^2 = (a — c)^2$

Но в нашем выражении нет «двойного» $a^2$ или $b^2$, так что:

Перепишем выражение как:

$$( a^2 — 2ab + b^2 ) + ( b^2 — 2bc + c^2 ) + ( a^2 — 2ac + c^2 )$$

Заметим: чтобы изначальное выражение стало таким, нужно разложить следующим образом:

$$( a — b )^2 + ( b — c )^2 + ( a — c )^2 = 0$$

Теперь докажем, что это эквивалентно исходному выражению.

Шаг 3. Проверим равенство: развёртывание квадратов разностей

1)

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$$

2)

$$(b — c)^2 = b^2 — 2bc + c^2$$

3)

$$(a — c)^2 = a^2 — 2ac + c^2$$

Теперь сложим их:

$$(a — b)^2 + (b — c)^2 + (a — c)^2 =$$ $$= (a^2 — 2ab + b^2) + (b^2 — 2bc + c^2) + (a^2 — 2ac + c^2)$$

Теперь объединим подобные члены:

• $a^2 + a^2 = 2a^2$
• $b^2 + b^2 = 2b^2$
• $c^2 + c^2 = 2c^2$
• $-2ab$, $-2bc$, $-2ac$

Получаем:

$$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 — 2ab — 2bc — 2ac$$

Это точно то же выражение, что мы получили ранее после умножения на 2:

$$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 — 2ab — 2ac — 2bc$$

Шаг 4. Полученное выражение — сумма квадратов

$$(a — b)^2 + (b — c)^2 + (a — c)^2 = 0$$

Сумма трёх квадратов равна нулю.
Но каждое из выражений $(x — y)^2 \geq 0$, и равно 0 только если $x = y$.
Следовательно, чтобы вся сумма была равна 0:

$$(a — b)^2 = 0 \Rightarrow a = b \\ (b — c)^2 = 0 \Rightarrow b = c \\ (a — c)^2 = 0 \Rightarrow a = c$$

Итак:

$$a = b = c$$

Шаг 5. Подставим $a = b = c$ в выражение $a + b — 2c$

Так как $a = c$ и $b = c$, подставим:

$$a + b — 2c = c + c — 2c = 2c — 2c = 0$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle a+b-2c=0}}$$