Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 683 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Разложите на множители:
1) (а + 6)3 — 27;
2) (2х -1)3 + 64;
3) 8а6 — (4а — 3)3;
4) 1000 + (у -10)3;
5) (х + у)3 -(х- у)3;
6) (а — 2)3 + (а + 2)3.
1) \((a + 6)^3 — 27 = (a + 6)^3 — 3^3 = (a + 6 — 3)\).
\[
((a + 6)^2 + 3(a + 6) + 9) = (a + 3)(a^2 + 12a + 36 + 3a + 18 + 9) =\]
\[=(a + 3)(a^2 + 15a + 63);
\]
2) \((2x — 1)^3 + 64 = (2x — 1)^3 + 4^3 = (2x — 1 + 4)\).
\[
((2x — 1)^2 — 4(2x — 1) + 16) = (2x + 3).
\]
\[
(4x^2 — 4x + 1 — 8x + 4 + 16) = (2x + 3)(4x^2 — 12x + 21);
\]
3) \(8a^6 — (4a — 3)^3 = (2a^2)^3 — (4a — 3)^3 = (2a^2 — 4a + 3)\).
\[
((2a^2)^2 + 2a^2(4a — 3) + (4a — 3)^2) = (2a^2 — 4a + 3).
\]
\[
(4a^4 + 8a^3 — 6a^2 + 16a^2 — 24a + 9) = (2a^2 — 4a + 3).
\]
\[
(4a^4 + 8a^3 + 10a^2 — 24a + 9);
\]
4) \(1000 + (y — 10)^3 = 10^3 + (y — 10)^3 = (10 + y — 10)\).
\[
(10^2 — 10(y — 10) + (y — 10)^2) = y(100 — 10y + 100 + y^2 — 20y +\]
\[+100) =y(y^2 — 30y + 300);
\]
5) \((x + y)^3 — (x — y)^3 = (x + y — x + y)\).
\[
((x + y)^2 + (x + y)(x — y) + (x — y)^2) = 2x(x^2 + 2xy + y^2 + x^2 -\]
\[-y^2 + x^2 — 2xy + y^2) = 2y(3x^2 + y^2);
\]
6) \((a — 2)^3 + (a + 2)^3 = (a — 2 + a + 2)\).
\[
((a — 2)^2 — (a — 2)(a + 2) + (a + 2)^2) = 2a(a^2 — 4a + 4 — a^2 + 4 + \]
\[+a^2 + 4a + 4) = 2a(a^2 + 12).
\]
1) \((a + 6)^3 — 27 = (a + 6)^3 — 3^3 = (a + 6 — 3)\):
Решение:
Мы видим, что это разность кубов: \((x^3 — y^3) = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), где \(x = a + 6\) и \(y = 3\). Применим формулу разности кубов:
\[
(a + 6)^3 — 27 = (a + 6 — 3)\left((a + 6)^2 + 3(a + 6) + 9\right)
\]
Раскроем скобки и упростим:
\[
(a + 6)^3 — 27 = (a + 3)(a^2 + 15a + 63)
\]
Ответ: \((a + 3)(a^2 + 15a + 63)\).
2) \((2x — 1)^3 + 64 = (2x — 1)^3 + 4^3 = (2x — 1 + 4)\):
Решение:
Это выражение представляет собой сумму кубов. Используем формулу для суммы кубов \((x^3 + y^3) = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\), где \(x = 2x — 1\) и \(y = 4\). Подставляем:
\[
(2x — 1)^3 + 64 = (2x — 1 + 4)\left((2x — 1)^2 — 4(2x — 1) + 16\right)
\]
Раскроем скобки и упростим:
\[
(2x — 1)^3 + 64 = (2x + 3)(4x^2 — 12x + 21)
\]
Ответ: \((2x + 3)(4x^2 — 12x + 21)\).
3) \(8a^6 — (4a — 3)^3 = (2a^2)^3 — (4a — 3)^3 = (2a^2 — 4a + 3)\):
Решение:
Это выражение представляет собой разность кубов. Используем формулу для разности кубов \((x^3 — y^3) = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), где \(x = 2a^2\) и \(y = 4a — 3\). Подставляем:
\[
8a^6 — (4a — 3)^3 = (2a^2 — 4a + 3)\left((2a^2)^2 + 2a^2(4a — 3) + (4a — 3)^2\right)
\]
Раскроем скобки и упростим:
\[
8a^6 — (4a — 3)^3 = (2a^2 — 4a + 3)(4a^4 + 8a^3 — 6a^2 + 16a^2 — 24a + 9)
\]
Ответ: \((2a^2 — 4a + 3)(4a^4 + 8a^3 + 10a^2 — 24a + 9)\).
4) \(1000 + (y — 10)^3 = 10^3 + (y — 10)^3 = (10 + y — 10)\):
Решение:
Это сумма кубов, применяем формулу для суммы кубов \((x^3 + y^3) = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\), где \(x = 10\) и \(y = y — 10\):
\[
1000 + (y — 10)^3 = (10 + y — 10)\left(10^2 — 10(y — 10) + (y — 10)^2\right)
\]
Теперь раскрываем скобки:
\[
1000 + (y — 10)^3 = y(y^2 — 30y + 300)
\]
Ответ: \(y(y^2 — 30y + 300)\).
5) \((x + y)^3 — (x — y)^3 = (x + y — x + y)\):
Решение:
Это выражение можно представить как разность кубов: \((x + y)^3 — (x — y)^3 = (x + y — x + y)\). Раскроем выражения:
\[(x + y)^3 — (x — y)^3 = (x + y — x + y)((x + y)^2 +\]
\[+(x + y)(x — y) + (x — y)^2)\]
Теперь раскрываем скобки и упрощаем:
\[(x + y)^2 + (x + y)(x — y) + (x — y)^2 = 2x(x^2 + 2xy + y^2 +\]
\[+x^2 — y^2 + x^2 — 2xy + y^2) = 2y(3x^2 + y^2)\]
Ответ: \(2y(3x^2 + y^2)\).
6) \((a — 2)^3 + (a + 2)^3 = (a — 2 + a + 2)\):
Решение:
Это выражение является суммой кубов, которую можно представить как \((a — 2 + a + 2)^3\). Раскроем кубы:
\[(a — 2)^3 + (a + 2)^3 = (a — 2 + a + 2)((a — 2)^2 — (a — 2)(a + 2) +\]
\[+(a + 2)^2)\]
Раскроем скобки и упростим:
\[
(a — 2)^2 — (a — 2)(a + 2) + (a + 2)^2 = 2a(a^2 — 4a + 4 — \]
\[-a^2 + 4 + a^2 + 4a + 4) = 2a(a^2 + 12)
\]
Ответ: \(2a(a^2 + 12)\).
Алгебра
