Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 685 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Упростите выражение:
1) (х + 1)(х2-х + 1) + (2-х)(4 + 2х + х2);
2) (х — 4) (х2 + 4х + 16) — х(х — 5)(х + 5);
3) а(а — 3)2 — (а + 3) (а2 — 3а + 9);
4) (а — 1)(а + 1)(а2 — а + 1)(а2 + а + 1)(a6 + 1)(a12 + 1).
1) \((x + 1)(x^2 — x + 1) + (2 — x)(4 + 2x + x^2) = x^3 + 1 + 8 — x^3 = 9.\)
2) \((x — 4)(x^2 + 4x + 16) — x(x — 5)(x + 5) = x^3 — 64 — x(x^2 — 25) =)
\(=x^3 — 64 — x^3 + 25x = 25x — 64.\)
3) \(a(a — 3)^2 — (a + 3)(a^2 — 3a + 9) = a(a^2 — 6a + 9) — (a^3 + 27) =\)
\(=a^3 — 6a^2 + 9a — a^3 — 27 = -6a^2 + 9a — 27.\)
4) \((a — 1)(a + 1)(a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) = (a — 1)\)
\((a^2 + a + 1)(a + 1)(a^2 — a + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) = (a^3 — 1)(a^2 + 1)\)
\((a^6 + 1)(a^{12} + 1) = (a^6 — 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) =\)
\(=(a^{12} — 1)(a^{12} + 1) = a^{24} — 1.\)
1) \((x + 1)(x^2 — x + 1) + (2 — x)(4 + 2x + x^2) = x^3 + 1 + 8 — x^3 = 9\):
Решение:
Начнем с раскрытия скобок для первого выражения:
\[
(x + 1)(x^2 — x + 1) = x^3 + x^2 + x — x^2 + x + 1 = x^3 + 2x + 1
\]
Теперь раскрываем второе выражение:
\[
(2 — x)(4 + 2x + x^2) = 2(4 + 2x + x^2) — x(4 + 2x + x^2) = \]
\[=8 + 4x + 2x^2 — 4x — 2x^2 — x^3 = 8 — x^3
\]
Теперь складываем полученные выражения:
\[
x^3 + 2x + 1 + 8 — x^3 = 9
\]
Ответ: \(9\).
2) \((x — 4)(x^2 + 4x + 16) — x(x — 5)(x + 5) = x^3 — 64 — x(x^2 — 25)\):
Решение:
Раскроем первое выражение:
\[
(x — 4)(x^2 + 4x + 16) = x^3 — 4x^2 + 16x — 4x^2 + 16x — 64 = x^3 — 64
\]
Теперь раскрываем второе выражение:
\[
x(x — 5)(x + 5) = x(x^2 — 25) = x^3 — 25x
\]
Теперь подставим это в исходное выражение:
\[
x^3 — 64 — (x^3 — 25x) = x^3 — 64 — x^3 + 25x = 25x — 64
\]
Ответ: \(25x — 64\).
3) \(a(a — 3)^2 — (a + 3)(a^2 — 3a + 9) = a(a^2 — 6a + 9) — (a^3 + 27)\):
Решение:
Раскроем скобки в первом выражении:
\[
a(a — 3)^2 = a(a^2 — 6a + 9) = a^3 — 6a^2 + 9a
\]
Теперь раскроем второе выражение:
\[
(a + 3)(a^2 — 3a + 9) = a^3 — 3a^2 + 9a + 3a^2 — 9a + 27 = a^3 + 27
\]
Теперь подставим это в исходное выражение:
\[
a^3 — 6a^2 + 9a — (a^3 + 27) = a^3 — 6a^2 + 9a — a^3 — 27 = -6a^2 + 9a — 27
\]
Ответ: \(-6a^2 + 9a — 27\).
4) \((a — 1)(a + 1)(a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) = (a — 1)\):
Решение:
Применим стандартные формулы разложения и упростим выражения поэтапно.
Начнем с первых двух множителей \((a — 1)(a + 1)\), которые представляют собой разность квадратов:
\[
(a — 1)(a + 1) = a^2 — 1
\]
Теперь умножим это на \((a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1)\). Это тоже разность квадратов:
\[
(a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1) = a^4 + 2a^2 + 1
\]
Теперь умножим на остальные множители \((a^6 + 1)\) и \((a^{12} + 1)\), используя разность и сумму кубов:
\[
(a^6 + 1)(a^{12} + 1) = (a^{12} — 1)(a^{12} + 1) = a^{24} — 1
\]
Итак, результат после раскрытия всех скобок будет равен \(a^{24} — 1\), что подтверждает наше выражение.
Ответ: \(a^{24} — 1\).
Алгебра
