ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 685 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) (х + 1)(х2-х + 1) + (2-х)(4 + 2х + х2);

2) (х — 4) (х2 + 4х + 16) — х(х — 5)(х + 5);

3) а(а — 3)2 — (а + 3) (а2 — 3а + 9);

4) (а — 1)(а + 1)(а2 — а + 1)(а2 + а + 1)(a6 + 1)(a12 + 1).

1) \((x + 1)(x^2 — x + 1) + (2 — x)(4 + 2x + x^2) = x^3 + 1 + 8 — x^3 = 9.\)

2) \((x — 4)(x^2 + 4x + 16) — x(x — 5)(x + 5) = x^3 — 64 — x(x^2 — 25) =\)

\(=x^3 — 64 — x^3 + 25x = 25x — 64.\)

3) \(a(a — 3)^2 — (a + 3)(a^2 — 3a + 9) = a(a^2 — 6a + 9) — (a^3 + 27) =\)

\(=a^3 — 6a^2 + 9a — a^3 — 27 = -6a^2 + 9a — 27.\)

4) \((a — 1)(a + 1)(a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) = (a — 1)\)

\((a^2 + a + 1)(a + 1)(a^2 — a + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) = (a^3 — 1)(a^2 + 1)\)

\((a^6 + 1)(a^{12} + 1) = (a^6 — 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) =\)

\(=(a^{12} — 1)(a^{12} + 1) = a^{24} — 1.\)

1) \((x + 1)(x^2 — x + 1) + (2 — x)(4 + 2x + x^2) = x^3 + 1 + 8 — x^3 = 9\):

Решение:

Начнем с раскрытия скобок для первого выражения:

\[
(x + 1)(x^2 — x + 1) = x^3 + x^2 + x — x^2 + x + 1 = x^3 + 2x + 1
\]

Теперь раскрываем второе выражение:

\[
(2 — x)(4 + 2x + x^2) = 2(4 + 2x + x^2) — x(4 + 2x + x^2) = \]

\[=8 + 4x + 2x^2 — 4x — 2x^2 — x^3 = 8 — x^3
\]

Теперь складываем полученные выражения:

\[
x^3 + 2x + 1 + 8 — x^3 = 9
\]

Ответ: \(9\).

2) \((x — 4)(x^2 + 4x + 16) — x(x — 5)(x + 5) = x^3 — 64 — x(x^2 — 25)\):

Решение:

Раскроем первое выражение:

\[
(x — 4)(x^2 + 4x + 16) = x^3 — 4x^2 + 16x — 4x^2 + 16x — 64 = x^3 — 64
\]

Теперь раскрываем второе выражение:

\[
x(x — 5)(x + 5) = x(x^2 — 25) = x^3 — 25x
\]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[
x^3 — 64 — (x^3 — 25x) = x^3 — 64 — x^3 + 25x = 25x — 64
\]

Ответ: \(25x — 64\).

3) \(a(a — 3)^2 — (a + 3)(a^2 — 3a + 9) = a(a^2 — 6a + 9) — (a^3 + 27)\):

Решение:

Раскроем скобки в первом выражении:

\[
a(a — 3)^2 = a(a^2 — 6a + 9) = a^3 — 6a^2 + 9a
\]

Теперь раскроем второе выражение:

\[
(a + 3)(a^2 — 3a + 9) = a^3 — 3a^2 + 9a + 3a^2 — 9a + 27 = a^3 + 27
\]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[
a^3 — 6a^2 + 9a — (a^3 + 27) = a^3 — 6a^2 + 9a — a^3 — 27 = -6a^2 + 9a — 27
\]

Ответ: \(-6a^2 + 9a — 27\).

4) \((a — 1)(a + 1)(a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) = (a — 1)\):

Решение:

Применим стандартные формулы разложения и упростим выражения поэтапно.

Начнем с первых двух множителей \((a — 1)(a + 1)\), которые представляют собой разность квадратов:

\[
(a — 1)(a + 1) = a^2 — 1
\]

Теперь умножим это на \((a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1)\). Это тоже разность квадратов:

\[
(a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1) = a^4 + 2a^2 + 1
\]

Теперь умножим на остальные множители \((a^6 + 1)\) и \((a^{12} + 1)\), используя разность и сумму кубов:

\[
(a^6 + 1)(a^{12} + 1) = (a^{12} — 1)(a^{12} + 1) = a^{24} — 1
\]

Итак, результат после раскрытия всех скобок будет равен \(a^{24} — 1\), что подтверждает наше выражение.

Ответ: \(a^{24} — 1\).