ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 691 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения:

1) 341^3 + 109^3 делится нацело на 90;

2) 2^15 + 3^3 делится нацело на 35.

1) \(341^3 + 109^3 = (341 + 109)(341^2 — 341 \cdot 109 + 109^2)\)

\(= 450 \cdot (341^2 — 341 \cdot 109 + 109^2)\) — делится нацело на 90, так как множитель 450 делится на 90.

2) \(2^{15} + 3^3 = (2^5 + 3)(2^{10} — 2^5 \cdot 3 + 3^2)\)

\[= (32 + 3) \cdot (2^{10} — 2^5 \cdot 3 + 3^2)\]

\(= 35 \cdot (2^{10} — 2^5 \cdot 3 + 3^2)\) — делится нацело на 35, так как множитель 35 делится на 35.

1) \(341^3 + 109^3 = (341 + 109)(341^2 — 341 \cdot 109 + 109^2)\):

Решение:

Мы видим, что это выражение представляет собой сумму кубов. Мы можем применить формулу для суммы кубов: \((x^3 + y^3) = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\), где \(x = 341\) и \(y = 109\). Подставляем:

\[
341^3 + 109^3 = (341 + 109)(341^2 — 341 \cdot 109 + 109^2)
\]

Вычислим сумму \(341 + 109 = 450\), подставим в выражение:

\[
= 450 \cdot (341^2 — 341 \cdot 109 + 109^2)
\]

Теперь определим, на какое число делится результат. Множитель 450 делится на 90, так как \(450 \div 90 = 5\). Следовательно, всё выражение делится на 90.

Ответ: выражение делится нацело на 90.

2) \(2^{15} + 3^3 = (2^5 + 3)(2^{10} — 2^5 \cdot 3 + 3^2)\):

Решение:

Это выражение представляет собой сумму кубов. Используем формулу для суммы кубов: \((x^3 + y^3) = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\), где \(x = 2^5\) и \(y = 3\). Подставляем:

\[
2^{15} + 3^3 = (2^5 + 3)(2^{10} — 2^5 \cdot 3 + 3^2)
\]

Теперь подставим значения \(2^5 = 32\) и \(3^3 = 27\) и получаем:

\[
= (32 + 3) \cdot (2^{10} — 2^5 \cdot 3 + 3^2)
\]

Теперь вычислим и упростим выражение:

\[
= 35 \cdot (2^{10} — 2^5 \cdot 3 + 3^2)
\]

Множитель 35 делится на 35, следовательно, выражение делится нацело на 35.

Ответ: выражение делится нацело на 35.