ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 692 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Укажите наименьшее натуральное значение n такое, чтобы выражение х2n — y3n можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите полученный многочлен на множители по этим формулам.

Пусть \(n = 12\), тогда:

\[
x^{2n} — y^{3n} = x^{24} — y^{36} = (x^{12})^2 — (y^{18})^2 = (x^{12} — y^{18})(x^{12} + y^{18})
\]

\[
x^{2n} — y^{3n} = x^{24} — y^{36} = (x^8)^3 — (y^{12})^3 = (x^8 — y^{12})(x^{16} + x^8y^{12} + y^{24})
\]

Пусть \(n = 12\), тогда:

1) \(x^{2n} — y^{3n} = x^{24} — y^{36} = (x^{12})^2 — (y^{18})^2 = (x^{12} — y^{18})(x^{12} + y^{18})\):

Решение:

Это выражение представляет собой разность квадратов. Мы можем представить его в виде \((a^2 — b^2) = (a — b)(a + b)\), где \(a = x^{12}\) и \(b = y^{18}\). Подставляем:

\[
x^{24} — y^{36} = (x^{12})^2 — (y^{18})^2 = (x^{12} — y^{18})(x^{12} + y^{18})
\]

Таким образом, выражение раскладывается на два множителя: \(x^{12} — y^{18}\) и \(x^{12} + y^{18}\).

Ответ: \((x^{12} — y^{18})(x^{12} + y^{18})\).

2) \(x^{2n} — y^{3n} = x^{24} — y^{36} = (x^8)^3 — (y^{12})^3 = (x^8 — y^{12})(x^{16} + x^8y^{12} + y^{24})\):

Решение:

Теперь мы имеем выражение в виде разности кубов, где применима формула \((a^3 — b^3) = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\), где \(a = x^8\) и \(b = y^{12}\). Подставляем:

\[
x^{24} — y^{36} = (x^8)^3 — (y^{12})^3 = (x^8 — y^{12})(x^{16} + x^8y^{12} + y^{24})
\]

Таким образом, выражение раскладывается на два множителя: \(x^8 — y^{12}\) и \(x^{16} + x^8y^{12} + y^{24}\).

Ответ: \((x^8 — y^{12})(x^{16} + x^8y^{12} + y^{24})\).