Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 695 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.
Пусть два последовательных натуральных числа \(2n + 1\) и \(2n + 3\).
\[
\frac{(2n + 1)^3 + (2n + 3)^3}{4} =
\]
\[
\frac{((2n + 1) + (2n + 3))((2n + 1)^2 — (2n + 1)(2n + 3) + (2n + 3)^2)}{4} =
\]
\[
\frac{(4n + 4) \cdot (4n^2 + 4n + 1 — 4n^2 — 6n — 2n — 3 + 4n^2 + 12n + 9)}{4} =
\]
\[
\frac{(n + 1) \cdot (4n^2 + 8n + 7)}{4} =
\]
\[
(n + 1)(4n^2 + 8n + 7)
\]
Задача: Пусть два последовательных натуральных числа \(2n + 1\) и \(2n + 3\).
1) \( \frac{(2n + 1)^3 + (2n + 3)^3}{4} \):
Решение:
Начнем с применения формулы для суммы кубов. Мы знаем, что:
\[
x^3 + y^3 = (x + y) \cdot (x^2 — xy + y^2)
\]
Заменим \(x = 2n + 1\) и \(y = 2n + 3\) в формуле для суммы кубов:
\[
(2n + 1)^3 + (2n + 3)^3 = ((2n + 1) + (2n + 3)) \cdot ((2n + 1)^2 — \]
\[-(2n + 1)(2n + 3) + (2n + 3)^2)
\]
Подставляем значение суммы чисел:
\[
(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4
\]
Теперь подставляем это в исходное выражение:
\[
\frac{(4n + 4) \cdot ((2n + 1)^2 — (2n + 1)(2n + 3) + (2n + 3)^2)}{4}
\]
Теперь раскрываем квадраты и произведения в скобках:
\[
(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1
\]
\[
(2n + 3)^2 = 4n^2 + 12n + 9
\]
\[
(2n + 1)(2n + 3) = 4n^2 + 6n + 2n + 3 = 4n^2 + 8n + 3
\]
Теперь подставляем эти выражения в исходное уравнение:
\[
\frac{(4n + 4) \cdot (4n^2 + 4n + 1 — 4n^2 — 8n — 3 + 4n^2 + 12n + 9)}{4}
\]
Теперь упрощаем выражение в скобках:
\[
4n^2 + 4n + 1 — 4n^2 — 8n — 3 + 4n^2 + 12n + 9 = 4n^2 + 8n + 7
\]
Подставляем это обратно:
\[
\frac{(4n + 4)(4n^2 + 8n + 7)}{4}
\]
Теперь можно вынести \(4\) из числителя и упростить:
\[
= (n + 1)(4n^2 + 8n + 7)
\]
Ответ: \((n + 1)(4n^2 + 8n + 7)\).
Алгебра
