Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 696 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.
Пусть два последовательных числа, не делящиеся на 3, будут \(3n — 1\) и \(3n + 1\).
\[
\frac{(3n — 1)^3 + (3n + 1)^3}{9} =
\]
\[
\frac{(3n — 1 + 3n + 1)((3n — 1)^2 — (3n — 1)(3n + 1) + (3n + 1)^2)}{9} =
\]
\[
\frac{6n \cdot (9n^2 — 6n + 1 — 9n^2 — 3n + 3n + 1 + 9n^2 + 6n + 1)}{9} =
\]
\[
\frac{6n \cdot (9n^2 + 3)}{9} = \frac{6n \cdot 3 \cdot (3n^2 + 1)}{9} =\frac{18n \cdot (3n^2 + 1)}{9} =
\]
\[
2n \cdot (3n^2 + 1)
\]
Задача: Пусть два последовательных числа, не делящиеся на 3, будут \(3n — 1\) и \(3n + 1\).
\(\frac{(3n — 1)^3 + (3n + 1)^3}{9} =\)
Решение:
Начнем с применения формулы для суммы кубов. Мы знаем, что:
\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)
\]
Подставляем \(x = 3n — 1\) и \(y = 3n + 1\):
\[
(3n — 1)^3 + (3n + 1)^3 = ((3n — 1) + (3n + 1))((3n — 1)^2 -\]
\[(3n — 1)(3n + 1) + (3n + 1)^2)
\]
Вычислим сумму чисел \( (3n — 1) + (3n + 1) = 6n \), подставим это в выражение:
\[
\frac{6n \cdot ((3n — 1)^2 — (3n — 1)(3n + 1) + (3n + 1)^2)}{9}
\]
Теперь раскрываем квадраты и произведения:
\[
(3n — 1)^2 = 9n^2 — 6n + 1
\]
\[
(3n + 1)^2 = 9n^2 + 6n + 1
\]
\[
(3n — 1)(3n + 1) = 9n^2 — 1
\]
Теперь подставляем эти значения в исходное выражение:
\[
\frac{6n \cdot (9n^2 — 6n + 1 — 9n^2 — 1 + 9n^2 + 6n + 1)}{9}
\]
Упрощаем выражение внутри скобок:
\[
9n^2 — 6n + 1 — 9n^2 — 1 + 9n^2 + 6n + 1 = 9n^2 + 3
\]
Теперь подставляем это в числитель:
\[
\frac{6n \cdot (9n^2 + 3)}{9}
\]
Вынесем \(3\) из числителя:
\[
\frac{6n \cdot 3 \cdot (3n^2 + 1)}{9}
\]
Упростим дробь:
\[
\frac{18n \cdot (3n^2 + 1)}{9} = 2n \cdot (3n^2 + 1)
\]
Ответ: \(2n \cdot (3n^2 + 1)\).
Алгебра
