ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 698 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что числа х и у таковы, что х3 -у2 = 2. Найдите значение выражения х9 — 6х3у2 — у6

Если \(x^3 — y^2 = 2\), то:

\[
x^9 — 6x^3y^2 — y^6 = (x^9 — y^6) — 6x^3y^2 = (x^3 — y^2)(x^6 + x^3y^2 + y^4) -\]

\[-6x^3y^2 = 2 \cdot (x^6 + x^3y^2 + y^4) — 6x^3y^2 = 2x^6 + 2x^3y^2 +\]

\[+2y^4 — 6x^3y^2 = 2x^6 — 4x^3y^2 + 2y^4 = 2(x^6 — 2x^3y^2 + y^4) = \]

\[=2(x^3 — y^2)^2 = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8.
\]

Ответ: \(x^9 — 6x^3y^2 — y^6 = 8\).

Исходное выражение: \(x^9 — 6x^3y^2 — y^6\).

Мы можем разложить это выражение на два слагаемых:

\[
x^9 — 6x^3y^2 — y^6 = (x^9 — y^6) — 6x^3y^2
\]

Теперь разложим выражение \(x^9 — y^6\) как разность кубов:

\[
x^9 — y^6 = (x^3 — y^2)(x^6 + x^3y^2 + y^4)
\]

Подставляем это в исходное уравнение:

\[
x^9 — 6x^3y^2 — y^6 = (x^3 — y^2)(x^6 + x^3y^2 + y^4) — 6x^3y^2
\]

Теперь подставим значение \(x^3 — y^2 = 2\):

\[
= 2 \cdot (x^6 + x^3y^2 + y^4) — 6x^3y^2
\]

Упростим выражение:

\[
= 2x^6 + 2x^3y^2 + 2y^4 — 6x^3y^2
\]

Теперь объединяем подобные слагаемые:

\[
= 2x^6 — 4x^3y^2 + 2y^4
\]

Мы можем вынести \(2\) за скобки:

\[
= 2(x^6 — 2x^3y^2 + y^4)
\]

Теперь заметим, что \(x^6 — 2x^3y^2 + y^4\) является полным квадратом \((x^3 — y^2)^2\):

\[
x^6 — 2x^3y^2 + y^4 = (x^3 — y^2)^2
\]

Подставляем \(x^3 — y^2 = 2\):

\[
= 2 \cdot (2)^2 = 2 \cdot 4 = 8
\]

Ответ: \(x^9 — 6x^3y^2 — y^6 = 8\).