ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 699 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если 2а — b = 1, то 8а3 — b3 = 6ab + 1.

Если \(2a — b = 1\), то \(8a^3 — b^3 = 6ab + 1\).

\[
8a^3 — b^3 = 6ab + 1
\]

\[
(2a — b)(4a^2 + 2ab + b^2) = 6ab + 1
\]

\[
1(4a^2 + 2ab + b^2) = 6ab + 1
\]

\[
4a^2 + 2ab + b^2 = 6ab + 1
\]

\[
4a^2 + 2ab + b^2 — 6ab + 6ab = 6ab + 1
\]

\[
4a^2 + 4ab + b^2 + 6ab = 6ab + 1
\]

\[
(2a — b)^2 + 6ab = 6ab + 1
\]

\[
1^2 + 6ab = 6ab + 1
\]

\[
6ab + 1 = 6ab + 1 \quad \text{→ что и требовалось доказать.}
\]

Исходное выражение: \(8a^3 — b^3 = 6ab + 1\).

Применим формулу для разности кубов:

\[
x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)
\]

Заменим \(x = 2a\) и \(y = b\) в формуле для разности кубов:

\[
8a^3 — b^3 = (2a — b)(4a^2 + 2ab + b^2)
\]

Подставляем, что \(2a — b = 1\), и получаем:

\[
1(4a^2 + 2ab + b^2) = 6ab + 1
\]

Упростим выражение:

\[
4a^2 + 2ab + b^2 = 6ab + 1
\]

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

\[
4a^2 + 2ab + b^2 — 6ab + 6ab = 6ab + 1
\]

Собираем подобные слагаемые:

\[
4a^2 + 4ab + b^2 + 6ab = 6ab + 1
\]

Теперь преобразуем выражение в квадрат разности:

\[
(2a — b)^2 + 6ab = 6ab + 1
\]

Так как \(2a — b = 1\), подставляем в выражение:

\[
1^2 + 6ab = 6ab + 1
\]

Видим, что обе стороны уравнения равны:

\[
6ab + 1 = 6ab + 1 \quad \text{→ что и требовалось доказать.}
\]

Ответ: доказано, что \(8a^3 — b^3 = 6ab + 1\) при условии \(2a — b = 1\).