Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 715 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Разложите на множители:
1) а7 + аb6;
2) х8 — y8;
3) с6 — 1.
1) \( a^7 + ab^6 = a(a^6 + b^6) = a(a^2 + b^2)(a^4 — a^2b^2 + b^4) \);
2) \( x^8 — y^8 = (x^4 — y^4)(x^4 + y^4) = (x^2 — y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) \);
3) \( c^6 — 1 = (c^3 — 1)(c^3 + 1) = (c — 1)(c^2 + c + 1) \cdot (c + 1)(c^2 — c + 1) \).
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( a^7 + ab^6 \). Чтобы упростить это выражение, мы можем выделить общий множитель \( a \). Для этого перепишем его как:
\( a^7 + ab^6 = a(a^6 + b^6) \)
Шаг 2: Теперь нам нужно упростить выражение \( a^6 + b^6 \). Это выражение похоже на сумму двух кубов, так как \( a^6 = (a^2)^3 \) и \( b^6 = (b^2)^3 \). Применим формулу для суммы кубов: \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2) \), где \( x = a^2 \), а \( y = b^2 \). Таким образом, получаем:
\( a^6 + b^6 = (a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2 + b^2)(a^4 — a^2b^2 + b^4) \)
Шаг 3: После разложения выражения \( a^6 + b^6 \), подставляем это в исходное выражение \( a^7 + ab^6 \). Получаем следующее:
\( a^7 + ab^6 = a(a^2 + b^2)(a^4 — a^2b^2 + b^4) \)
Шаг 4: Это финальное разложение для \( a^7 + ab^6 \). Оно является более компактной и упрощённой формой исходного выражения, где общий множитель \( a \) вынесен за скобки, а оставшееся выражение \( (a^2 + b^2)(a^4 — a^2b^2 + b^4) \) — это разложение суммы кубов.
Шаг 5: Теперь перейдём ко второму выражению \( x^8 — y^8 \). Это разность двух четвёртых степеней, которая разлагается по формуле разности квадратов: \( x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) \). Мы можем применить эту формулу дважды, чтобы упростить выражение. Для начала разлагаем \( x^8 — y^8 \) как:
\( x^8 — y^8 = (x^4 — y^4)(x^4 + y^4) \)
Шаг 6: Теперь, нам нужно разложить \( x^4 — y^4 \), применяя формулу разности квадратов снова. Получаем:
\( x^4 — y^4 = (x^2 — y^2)(x^2 + y^2) \)
Шаг 7: После того как мы разложили \( x^4 — y^4 \), подставляем это обратно в выражение \( x^8 — y^8 \), получая следующее:
\( x^8 — y^8 = (x^2 — y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) \)
Шаг 8: Таким образом, выражение \( x^8 — y^8 \) разложено на три множителя: \( (x^2 — y^2) \), \( (x^2 + y^2) \) и \( (x^4 + y^4) \). Это упрощает вычисления и позволяет работать с более простыми выражениями.
Шаг 9: Переходим к третьему выражению \( c^6 — 1 \). Это разность кубов, так как \( c^6 = (c^3)^2 \) и 1 — это \( 1^2 \). Используем формулу разности кубов \( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \), где \( x = c^3 \), а \( y = 1 \). Таким образом, получаем:
\( c^6 — 1 = (c^3 — 1)(c^3 + 1) \)
Шаг 10: Теперь разложим оба множителя \( (c^3 — 1) \) и \( (c^3 + 1) \) по формулам разности и суммы квадратов. Для \( c^3 — 1 \) применим разложение как разность кубов:
\( c^3 — 1 = (c — 1)(c^2 + c + 1) \)
А для \( c^3 + 1 \) — это сумма кубов, разлагаем по формуле:
\( c^3 + 1 = (c + 1)(c^2 — c + 1) \)
Шаг 11: Подставляем полученные разложения обратно в исходное выражение \( c^6 — 1 \), получаем финальное разложение:
\( c^6 — 1 = (c — 1)(c^2 + c + 1)(c + 1)(c^2 — c + 1) \)
Шаг 12: Таким образом, мы полностью разложили выражение \( c^6 — 1 \) на множители. Это разложение позволяет проще работать с выражением, особенно при вычислениях.
Алгебра
