Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 717 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Представьте в виде произведения многочлен:
1) 3аb + 15b — 3а — 15;
2) 84 — 42у — 7ху + 14х;
3) аbс + 6ас + 8аb + 48а;
4) m3 — m2n + m2 — mn;
5) а3+а2-а-1;
6) 2х3 — 2ху2 — 8х2 + 8y2;
7) 5а2 — 5b2 — 15а3b + 15аb3;
8) а2b2 — 1 — b2 + а2.
1) \( 3ab + 15b — 3a — 15 = 3a(b — 1) + 15(b — 1) = (b — 1)(3a + 15) = \)
\(=3(b — 1)(a + 5) \);
2) \( 84 — 42y — 7xy + 14x = 42(2 — y) + 7x(2 — y) = (2 — y)(42 + 7x) = \)
\(=7(2 — y)(6 + x) \);
3) \( abc + 6ac + 8ab + 48a = ac(b + 6) + 8a(b + 6) = (b + 6)(ac + 8a) = \)
\(=a(b + 6)(c + 8) \);
4) \( m^3 — m^2n + m^2 — mn = m^2(m — n) + m(m — n) = (m — n)(m^2 + m) = \)
\(=m(m — n)(m + 1) \);
5) \( a^3 + a^2 — a — 1 = a^2(a + 1) — (a + 1) = (a + 1)(a^2 — 1) = (a + 1)\)
\((a — 1)(a + 1) = (a — 1)(a + 1)^2 \);
6) \( 2x^3 — 2xy^2 — 8x^2 + 8y^2 = 2x(x^2 — y^2) — 8(x^2 — y^2) = (x^2 — y^2)(2x — 8) =\)
\( =2(x — y)(x + y)(x — 4) \);
7) \( 5a^2 — 5b^2 — 15a^3b + 15ab^3 = 5(a^2 — b^2) — 15ab(a^2 — b^2) = \)
\(=(a^2 — b^2)(5 — 15ab) = 5(a — b)(a + b)(1 — 3ab) \);
8) \( a^2b^2 — b^2 — a^2 + 1 = (a^2b^2 — b^2) + (a^2 — 1) = b^2(a^2 — 1) + (a^2 — 1) = \)
\(=(a^2 — 1)(b^2 + 1) = (a — 1)(a + 1)(b^2 + 1) \).
Пример 1: \( 3ab + 15b — 3a — 15 \)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( 3ab + 15b — 3a — 15 \). Мы можем сгруппировать термины, чтобы выделить общий множитель:
\( 3ab + 15b — 3a — 15 = 3a(b — 1) + 15(b — 1)
Шаг 2: Теперь можно вынести общий множитель \( (b — 1) \) из каждого слагаемого:
\( 3a(b — 1) + 15(b — 1) = (b — 1)(3a + 15)
Шаг 3: Упростим выражение внутри скобок. Вынесем общий множитель \( 3 \) из \( 3a + 15 \):
\( (b — 1)(3a + 15) = (b — 1)(3(a + 5))
Шаг 4: Получаем итоговое выражение:
\( = 3(b — 1)(a + 5) \)
Пример 2: \( 84 — 42y — 7xy + 14x \)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( 84 — 42y — 7xy + 14x \). Мы можем сгруппировать термины и выделить общий множитель:
\( 84 — 42y — 7xy + 14x = 42(2 — y) + 7x(2 — y)
Шаг 2: Теперь можно вынести общий множитель \( (2 — y) \):
\( 42(2 — y) + 7x(2 — y) = (2 — y)(42 + 7x)
Шаг 3: Упростим выражение внутри скобок:
\( (2 — y)(42 + 7x) = 7(2 — y)(6 + x)
Шаг 4: Получаем итоговое выражение:
\( = 7(2 — y)(6 + x) \)
Пример 3: \( abc + 6ac + 8ab + 48a \)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( abc + 6ac + 8ab + 48a \). Мы можем сгруппировать термины и выделить общий множитель:
\( abc + 6ac + 8ab + 48a = ac(b + 6) + 8a(b + 6)
Шаг 2: Теперь можно вынести общий множитель \( (b + 6) \):
\( ac(b + 6) + 8a(b + 6) = (b + 6)(ac + 8a)
Шаг 3: Получаем итоговое выражение:
\( = a(b + 6)(c + 8) \)
Пример 4: \( m^3 — m^2n + m^2 — mn \)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( m^3 — m^2n + m^2 — mn \). Мы можем сгруппировать термины и выделить общий множитель:
\( m^3 — m^2n + m^2 — mn = m^2(m — n) + m(m — n)
Шаг 2: Теперь можно вынести общий множитель \( (m — n) \):
\( m^2(m — n) + m(m — n) = (m — n)(m^2 + m)
Шаг 3: Получаем итоговое выражение:
\( = m(m — n)(m + 1) \)
Пример 5: \( a^3 + a^2 — a — 1 \)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( a^3 + a^2 — a — 1 \). Мы можем сгруппировать термины и выделить общий множитель:
\( a^3 + a^2 — a — 1 = a^2(a + 1) — (a + 1)
Шаг 2: Теперь можно вынести общий множитель \( (a + 1) \):
\( a^2(a + 1) — (a + 1) = (a + 1)(a^2 — 1)
Шаг 3: Разложим \( a^2 — 1 \) как разность квадратов:
\( (a + 1)(a^2 — 1) = (a + 1)(a — 1)(a + 1)
Шаг 4: Получаем итоговое выражение:
\( = (a — 1)(a + 1)^2 \)
Пример 6: \( 2x^3 — 2xy^2 — 8x^2 + 8y^2 \)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( 2x^3 — 2xy^2 — 8x^2 + 8y^2 \). Мы можем сгруппировать термины и выделить общий множитель:
\( 2x^3 — 2xy^2 — 8x^2 + 8y^2 = 2x(x^2 — y^2) — 8(x^2 — y^2)
Шаг 2: Теперь можно вынести общий множитель \( (x^2 — y^2) \):
\( 2x(x^2 — y^2) — 8(x^2 — y^2) = (x^2 — y^2)(2x — 8)
Шаг 3: Упростим выражение внутри скобок, вынеся общий множитель 2:
(x^2 — y^2)(2x — 8) = (x^2 — y^2)(2(x — 4))
Шаг 4: Получаем итоговое выражение:
\( = 2(x — y)(x + y)(x — 4) \)
Пример 7: \( 5a^2 — 5b^2 — 15a^3b + 15ab^3 \)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( 5a^2 — 5b^2 — 15a^3b + 15ab^3 \). Мы можем сгруппировать термины и выделить общий множитель:
\( 5a^2 — 5b^2 — 15a^3b + 15ab^3 = 5(a^2 — b^2) — 15ab(a^2 — b^2)
Шаг 2: Теперь можно вынести общий множитель \( (a^2 — b^2) \):
\( 5(a^2 — b^2) — 15ab(a^2 — b^2) = (a^2 — b^2)(5 — 15ab)
Шаг 3: Разложим \( a^2 — b^2 \) как разность квадратов:
\( (a^2 — b^2)(5 — 15ab) = (a — b)(a + b)(5 — 15ab)
Шаг 4: Получаем итоговое выражение:
\( = 5(a — b)(a + b)(1 — 3ab) \)
Пример 8: \( a^2b^2 — b^2 — a^2 + 1 \)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( a^2b^2 — b^2 — a^2 + 1 \). Мы можем сгруппировать термины и выделить общий множитель:
\( a^2b^2 — b^2 — a^2 + 1 = (a^2b^2 — b^2) + (a^2 — 1)
Шаг 2: Теперь можно вынести общий множитель из первых двух слагаемых и из последних двух:
\( (a^2b^2 — b^2) + (a^2 — 1) = b^2(a^2 — 1) + (a^2 — 1)
Шаг 3: Вынесем \( (a^2 — 1) \) как общий множитель:
\( b^2(a^2 — 1) + (a^2 — 1) = (a^2 — 1)(b^2 + 1)
Шаг 4: Разложим \( a^2 — 1 \) как разность квадратов:
\( (a^2 — 1)(b^2 + 1) = (a — 1)(a + 1)(b^2 + 1)
Шаг 5: Получаем итоговое выражение:
\( = (a — 1)(a + 1)(b^2 + 1) \)
Алгебра
