Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 719 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Разложите на множители:
1) (a2 + b2)2 — 4а2b2;
2) 81 — (х2 + 6х)2;
3) a2 + 2ab + b2 — с2;
4) с2 + 4с + 4 — k2;
5) 9а2 + с2 + 6ас — 9;
6) d2 -b2-10b- 25;
7) 49 — у2 + х2 — 14х;
8) mn2 — m3 — 12m2 — 36m.
1) \((a^2 + b^2)^2 — 4a^2b^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 — 4a^2b^2 = a^4 — 2a^2b^2 + b^4 = \)
\(=(a^2 — b^2)^2 = ((a — b)(a + b))^2 = (a — b)^2(a + b)^2\);
2) \(81 — (x^2 + 6x)^2 = (9 — (x^2 + 6x))(9 + x^2 + 6x) = (9 — x^2 — 6x)\)
\((9 + x^2 + 6x) = — (x^2 + 6x — 9)(x + 3)^2\);
3) \(a^2 + 2ab + b^2 — c^2 = (a + b)^2 — c^2 = (a + b — c)(a + b + c)\);
4) \(c^2 + 4c + 4 — k^2 = (c + 2)^2 — k^2 = (c + 2 — k)(c + 2 + k)\);
5) \(9a^2 + c^2 + 6ac — 9 = (3a + c)^2 — 9 = (3a + c — 3)(3a + c + 3)\);
6) \(a^2 — b^2 — 10b — 25 = a^2 — (b^2 + 10b + 25) = a^2 — (b + 5)^2 =\)
\(=(a — b — 5)(a + b + 5)\);
7) \(49 — y^2 + x^2 — 14x = (x^2 — 14x + 49) — y^2 = (x — 7)^2 — y^2 =\)
\(=(x — 7 — y)(x — 7 + y)\);
8) \(m^3n — m^2n — 12m^2 — 36m = m(n^2 — m^2 — 12m — 36) =\)
\(=m(n^2 — (m^2 + 12m + 36)) = m(n^2 — (m + 6)^2) = \)
\(=m(n — m — 6)(n + m + 6)\).
Пример 1: \((a^2 + b^2)^2 — 4a^2b^2\)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \((a^2 + b^2)^2 — 4a^2b^2\). Раскроем квадрат первого слагаемого:
\((a^2 + b^2)^2 — 4a^2b^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 — 4a^2b^2\)
Шаг 2: Теперь упростим выражение, убрав \( 2a^2b^2 \) и \( -4a^2b^2 \):
\(a^4 — 2a^2b^2 + b^4\)
Шаг 3: Это разложение — разность квадратов, которая может быть записана как:
\((a^2 — b^2)^2\)
Шаг 4: Разложим \( (a^2 — b^2) \) как разность квадратов:
\((a^2 — b^2)^2 = ((a — b)(a + b))^2 = (a — b)^2(a + b)^2
Шаг 5: Это итоговое разложение для \((a^2 + b^2)^2 — 4a^2b^2\):
\( = (a — b)^2(a + b)^2 \)
Пример 2: \(81 — (x^2 + 6x)^2\)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( 81 — (x^2 + 6x)^2 \). Используем формулу разности квадратов:
\(81 — (x^2 + 6x)^2 = (9 — (x^2 + 6x))(9 + (x^2 + 6x))
Шаг 2: Получаем два множителя:
\( (9 — x^2 — 6x)(9 + x^2 + 6x)
Шаг 3: Это выражение можно упростить:
\( (9 — x^2 — 6x)(9 + x^2 + 6x) = — (x^2 + 6x — 9)(x + 3)^2
Шаг 4: Это итоговое разложение для \(81 — (x^2 + 6x)^2\):
\( = — (x^2 + 6x — 9)(x + 3)^2 \)
Пример 3: \(a^2 + 2ab + b^2 — c^2\)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( a^2 + 2ab + b^2 — c^2 \). Это выражение можно представить как разность двух квадратов:
\( a^2 + 2ab + b^2 — c^2 = (a + b)^2 — c^2
Шаг 2: Разлагаем это выражение по формуле разности квадратов:
\( (a + b)^2 — c^2 = (a + b — c)(a + b + c)
Шаг 3: Это итоговое разложение для \( a^2 + 2ab + b^2 — c^2 \):
\( = (a + b — c)(a + b + c) \)
Пример 4: \(c^2 + 4c + 4 — k^2\)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( c^2 + 4c + 4 — k^2 \). Это выражение можно представить как разность двух квадратов:
\( c^2 + 4c + 4 — k^2 = (c + 2)^2 — k^2
Шаг 2: Разлагаем это выражение по формуле разности квадратов:
\( (c + 2)^2 — k^2 = (c + 2 — k)(c + 2 + k)
Шаг 3: Это итоговое разложение для \( c^2 + 4c + 4 — k^2 \):
\( = (c + 2 — k)(c + 2 + k) \)
Пример 5: \(9a^2 + c^2 + 6ac — 9\)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( 9a^2 + c^2 + 6ac — 9 \). Мы можем представить его как разность квадратов:
\( 9a^2 + c^2 + 6ac — 9 = (3a + c)^2 — 9
Шаг 2: Разлагаем это выражение по формуле разности квадратов:
\( (3a + c)^2 — 9 = (3a + c — 3)(3a + c + 3)
Шаг 3: Это итоговое разложение для \( 9a^2 + c^2 + 6ac — 9 \):
\( = (3a + c — 3)(3a + c + 3) \)
Пример 6: \(a^2 — b^2 — 10b — 25\)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( a^2 — b^2 — 10b — 25 \). Мы можем сгруппировать термины и выделить общий множитель:
\( a^2 — b^2 — 10b — 25 = a^2 — (b^2 + 10b + 25)
Шаг 2: Теперь упростим выражение в скобках:
\( a^2 — (b + 5)^2
Шаг 3: Разлагаем это выражение по формуле разности квадратов:
\( a^2 — (b + 5)^2 = (a — b — 5)(a + b + 5)
Шаг 4: Это итоговое разложение для \( a^2 — b^2 — 10b — 25 \):
\( = (a — b — 5)(a + b + 5) \)
Пример 7: \(49 — y^2 + x^2 — 14x\)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( 49 — y^2 + x^2 — 14x \). Мы можем сгруппировать термины и выделить общий множитель:
\( 49 — y^2 + x^2 — 14x = (x^2 — 14x + 49) — y^2
Шаг 2: Упростим выражение в скобках, преобразовав его в квадрат:
\( (x — 7)^2 — y^2
Шаг 3: Разлагаем это выражение по формуле разности квадратов:
\( (x — 7)^2 — y^2 = (x — 7 — y)(x — 7 + y)
Шаг 4: Это итоговое разложение для \( 49 — y^2 + x^2 — 14x \):
\( = (x — 7 — y)(x — 7 + y) \)
Пример 8: \(m^3n — m^2n — 12m^2 — 36m\)
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( m^3n — m^2n — 12m^2 — 36m \). Мы можем сгруппировать термины и выделить общий множитель:
\( m^3n — m^2n — 12m^2 — 36m = m(n^2 — m^2 — 12m — 36)
Шаг 2: Упростим выражение в скобках:
\( m(n^2 — (m^2 + 12m + 36)) = m(n^2 — (m + 6)^2)
Шаг 3: Разлагаем это выражение по формуле разности квадратов:
\( m(n^2 — (m + 6)^2) = m(n — m — 6)(n + m + 6)
Шаг 4: Это итоговое разложение для \( m^3n — m^2n — 12m^2 — 36m \):
\( = m(n — m — 6)(n + m + 6) \)
Алгебра
