1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Учебник 📕 Мерзляк, Полонский, Якир — Все Части
Алгебра
7 класс учебник Мерзляк
7 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Авторы
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Год
2018-2024.
Описание

Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.

Основные темы

  • Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
  • Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
  • Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
  • Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
  • Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.

Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.

ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 721 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Разложите на множители:

1) а2 — b2 — а — b;

2) х — у — х2 + y2;

3) 4m2 — 9n2 + 2m + 3n;

4) с2 — d2 + 4с — 4d;

5) 5х2y — 5ху2 — х2 + y2;

6) а2 -10а + 25 — ab + 5b;

7) 8mp + 8np — m2 — 2mn — n2;

8) a3 + b3 — a2b — ab2;

9) m3 — 8n3 — m2 + 4mn — 4n2;

10) a3 — 4a2 + 4а — 1.

Краткий ответ:

1) \(a^2 — b^2 — a — b = (a^2 — b^2) — (a + b) = (a — b)(a + b) — (a + b) = \)

\(=(a + b)(a — b — 1)\);

2) \(x — y — x^2 + y^2 = (x — y) — (x^2 — y^2) = (x — y) — (x — y)(x + y) =\)

\(=(x — y)(1 — (x + y)) = (x — y)(1 — x — y)\);

3) \(4m^2 — 9n^2 + 2m + 3n = (4m^2 — 9n^2) + (2m + 3n) = (2m — 3n)\)

\((2m + 3n) + (2m + 3n) = (2m + 3n)(2m — 3n + 1)\);

4) \(c^2 — d^2 + 4c — 4d = (c^2 — d^2) + (4c — 4d) = (c — d)(c + d) + 4(c — d) = \)

\(=(c — d)(c + d + 4)\);

5) \(5x^2y — 5xy^2 — x^2 + y^2 = 5xy(x — y) — (x^2 — y^2) = 5xy(x — y) — (x — y)\)

\((x + y) = (x — y)(5xy — (x + y)) = (x — y)(5xy — x — y)\);

6) \(10a + 25 — ab + 5b = (a — 5)^2 — b(a — 5) = (a — 5)(a — 5 — b)\);

7) \(8mp + 8np — m^2 — 2mn — n^2 = 8p(m + n) — (m^2 + 2mn + n^2) =\)

\(=8p(m + n) — (m + n)^2 = (m + n)(8p — (m + n)) = (m + n)(8p — m — n)\);

8) \(a^3 + b^3 — a^2b — ab^2 = (a^3 + b^3) — (a^2b + ab^2) = (a + b)(a^2 — ab + b^2) -\)

\(-ab(a + b) = (a + b)(a^2 — ab + b^2 — ab) = (a + b)(a^2 — 2ab + b^2) =\)

\(=(a + b)(a — b)^2\);

9) \(m^3 — 8n^3 — m^2 + 4mn — 4n^2 = (m^3 — 8n^3) — (m^2 — 4mn + 4n^2) =\)

\(=(m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) — (m — 2n)^2 =\)

\(=(m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2 — m + 2n)\);

10) \(a^3 — 4a^2 — 4a — 1 = (a^3 — 1) — (4a^2 — 4a) = (a — 1)(a^2 + a + 1) — \)

\(-4a(a — 1) ==(a — 1)(a^2 + a + 1 — 4a) = (a — 1)(a^2 — 3a + 1)\).

Подробный ответ:

Пример 1: \(a^2 — b^2 — a — b = (a^2 — b^2) — (a + b) = (a — b)(a + b) — (a + b) = \)

Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:

\(a^2 — b^2 — a — b\)

Заменяем разность квадратов на множители:

\(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\)

Это преобразует выражение в:

\( (a^2 — b^2) — (a + b) = (a — b)(a + b) — (a + b) \)

Шаг 2: Мы видим общий множитель \((a + b)\), который можно вынести за скобки:

\( = (a + b)(a — b — 1) \)

Теперь выражение упрощается до финальной формы.

Пример 2: \(x — y — x^2 + y^2 = (x — y) — (x^2 — y^2) = (x — y) — (x — y)(x + y) =\)

Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:

\(x — y — x^2 + y^2\)

Разлагаем \(x^2 — y^2\) на множители по формуле разности квадратов:

\(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\)

Подставляем это в исходное выражение:

\( (x — y) — (x^2 — y^2) = (x — y) — (x — y)(x + y) \)

Шаг 2: Выделяем общий множитель \((x — y)\):

\( = (x — y)(1 — (x + y)) = (x — y)(1 — x — y) \)

Пример 3: \(4m^2 — 9n^2 + 2m + 3n = (4m^2 — 9n^2) + (2m + 3n) = (2m — 3n)\)

Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:

\(4m^2 — 9n^2 + 2m + 3n\)

Разделяем на две части: \(4m^2 — 9n^2\) (разность квадратов) и \(2m + 3n\) (линейное выражение):

\( (4m^2 — 9n^2) + (2m + 3n) \)

Шаг 2: Используем разложение разности квадратов для первой части:

\(4m^2 — 9n^2 = (2m — 3n)(2m + 3n)\)

Теперь получаем:

\( (2m — 3n)(2m + 3n) + (2m + 3n) \)

Шаг 3: Выделяем общий множитель \((2m + 3n)\):

\( = (2m + 3n)((2m — 3n) + 1) = (2m + 3n)(2m — 3n + 1) \)

Пример 4: \(c^2 — d^2 + 4c — 4d = (c^2 — d^2) + (4c — 4d) = (c — d)(c + d) + 4(c — d) = \)

Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:

\(c^2 — d^2 + 4c — 4d\)

Разделяем его на два выражения: \(c^2 — d^2\) (разность квадратов) и \(4c — 4d\) (общий множитель 4):

\( (c^2 — d^2) + (4c — 4d) \)

Шаг 2: Разлагаем \(c^2 — d^2\) на множители:

\(c^2 — d^2 = (c — d)(c + d)\)

А также выделяем общий множитель 4 во второй части:

\(4c — 4d = 4(c — d)\)

Шаг 3: Теперь у нас следующее выражение:

\( (c — d)(c + d) + 4(c — d) \)

Шаг 4: Выделяем общий множитель \((c — d)\):

\( = (c — d)(c + d + 4) \)

Пример 5: \(5x^2y — 5xy^2 — x^2 + y^2 = 5xy(x — y) — (x^2 — y^2) = 5xy(x — y) — (x — y)\)

Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:

\(5x^2y — 5xy^2 — x^2 + y^2\)

Разлагаем \(x^2 — y^2\) на множители по формуле разности квадратов:

\(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\)

Теперь подставляем это в исходное выражение:

\( 5xy(x — y) — (x^2 — y^2) = 5xy(x — y) — (x — y)(x + y) \)

Шаг 2: Выделяем общий множитель \((x — y)\):

\( = (x — y)(5xy — (x + y)) = (x — y)(5xy — x — y) \)

Пример 6: \(10a + 25 — ab + 5b = (a — 5)^2 — b(a — 5) = (a — 5)(a — 5 — b)\)

Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:

\(10a + 25 — ab + 5b\)

Здесь видно, что \(10a + 25\) можно привести к полному квадрату \((a — 5)^2\), а \(ab — 5b\) имеет общий множитель \(b\):

\( (a — 5)^2 — b(a — 5) \)

Шаг 2: Теперь выносим общий множитель \((a — 5)\):

\( = (a — 5)(a — 5 — b) \)

Пример 7: \(8mp + 8np — m^2 — 2mn — n^2 = 8p(m + n) — (m^2 + 2mn + n^2) =\)

Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:

\(8mp + 8np — m^2 — 2mn — n^2\)

Мы видим, что можно выделить общий множитель \(8p\) в первых двух терминах:

\( 8p(m + n) — (m^2 + 2mn + n^2) \)

Шаг 2: Вторая часть выражения — это полный квадрат \((m + n)^2\):

\( m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2 \)

Шаг 3: Подставляем в исходное выражение:

\( 8p(m + n) — (m + n)^2 \)

Шаг 4: Выделяем общий множитель \((m + n)\):

\( = (m + n)(8p — (m + n)) = (m + n)(8p — m — n) \)

Пример 8: \(a^3 + b^3 — a^2b — ab^2 = (a^3 + b^3) — (a^2b + ab^2) = (a + b)(a^2 — ab + b^2) -\)

Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:

\(a^3 + b^3 — a^2b — ab^2\)

Первым шагом выделяем разность кубов для \(a^3 + b^3\) по формуле разности кубов:

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \)

Подставляем это в исходное выражение:

\( (a^3 + b^3) — (a^2b + ab^2) = (a + b)(a^2 — ab + b^2) — (a^2b + ab^2) \)

Шаг 2: Замечаем, что второй терм можно привести к виду, содержащему \((a + b)\), выделив общий множитель \(-ab(a + b)\):

\( (a + b)(a^2 — ab + b^2) — ab(a + b) \)

Шаг 3: Теперь можно вынести \((a + b)\) за скобки:

\( = (a + b)(a^2 — ab + b^2 — ab) = (a + b)(a^2 — 2ab + b^2) \)

Шаг 4: Видим, что это разложение по формуле полного квадрата:

\( = (a + b)(a — b)^2 \)

Пример 9: \(m^3 — 8n^3 — m^2 + 4mn — 4n^2 = (m^3 — 8n^3) — (m^2 — 4mn + 4n^2) =\)

Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:

\(m^3 — 8n^3 — m^2 + 4mn — 4n^2\)

Для первой части выражения \(m^3 — 8n^3\) используем разность кубов:

\( m^3 — 8n^3 = (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) \)

Подставляем это в исходное выражение:

\( (m^3 — 8n^3) — (m^2 — 4mn + 4n^2) = (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) -\)

\(-(m^2 — 4mn + 4n^2) \)

Шаг 2: Выделяем общий множитель \((m — 2n)\):

\( = (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) — (m — 2n)^2 \)

Шаг 3: Теперь можно вынести \((m — 2n)\) за скобки:

\( = (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2 — m + 2n) \)

Пример 10: \(a^3 — 4a^2 — 4a — 1 = (a^3 — 1) — (4a^2 — 4a) = (a — 1)(a^2 + a + 1) — \)

Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:

\(a^3 — 4a^2 — 4a — 1\)

Для первой части выражения \(a^3 — 1\) используем разность кубов:

\( a^3 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1) \)

Подставляем это в исходное выражение:

\( (a^3 — 1) — (4a^2 — 4a) = (a — 1)(a^2 + a + 1) — (4a^2 — 4a) \)

Шаг 2: Во второй части выражения \(4a^2 — 4a\) выделяем общий множитель \(4a\):

\( 4a^2 — 4a = 4a(a — 1) \)

Шаг 3: Подставляем это в выражение:

\( (a — 1)(a^2 + a + 1) — 4a(a — 1) \)

Шаг 4: Выделяем общий множитель \((a — 1)\):

\( = (a — 1)(a^2 + a + 1 — 4a) \)

Шаг 5: Упрощаем выражение внутри скобок:

\( = (a — 1)(a^2 — 3a + 1) \)

Это и будет окончательное разложение для данного примера.


Алгебра

Общая оценка
4.5 / 5
Комментарии
Другие предметы