Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 721 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Разложите на множители:
1) а2 — b2 — а — b;
2) х — у — х2 + y2;
3) 4m2 — 9n2 + 2m + 3n;
4) с2 — d2 + 4с — 4d;
5) 5х2y — 5ху2 — х2 + y2;
6) а2 -10а + 25 — ab + 5b;
7) 8mp + 8np — m2 — 2mn — n2;
8) a3 + b3 — a2b — ab2;
9) m3 — 8n3 — m2 + 4mn — 4n2;
10) a3 — 4a2 + 4а — 1.
1) \(a^2 — b^2 — a — b = (a^2 — b^2) — (a + b) = (a — b)(a + b) — (a + b) = \)
\(=(a + b)(a — b — 1)\);
2) \(x — y — x^2 + y^2 = (x — y) — (x^2 — y^2) = (x — y) — (x — y)(x + y) =\)
\(=(x — y)(1 — (x + y)) = (x — y)(1 — x — y)\);
3) \(4m^2 — 9n^2 + 2m + 3n = (4m^2 — 9n^2) + (2m + 3n) = (2m — 3n)\)
\((2m + 3n) + (2m + 3n) = (2m + 3n)(2m — 3n + 1)\);
4) \(c^2 — d^2 + 4c — 4d = (c^2 — d^2) + (4c — 4d) = (c — d)(c + d) + 4(c — d) = \)
\(=(c — d)(c + d + 4)\);
5) \(5x^2y — 5xy^2 — x^2 + y^2 = 5xy(x — y) — (x^2 — y^2) = 5xy(x — y) — (x — y)\)
\((x + y) = (x — y)(5xy — (x + y)) = (x — y)(5xy — x — y)\);
6) \(10a + 25 — ab + 5b = (a — 5)^2 — b(a — 5) = (a — 5)(a — 5 — b)\);
7) \(8mp + 8np — m^2 — 2mn — n^2 = 8p(m + n) — (m^2 + 2mn + n^2) =\)
\(=8p(m + n) — (m + n)^2 = (m + n)(8p — (m + n)) = (m + n)(8p — m — n)\);
8) \(a^3 + b^3 — a^2b — ab^2 = (a^3 + b^3) — (a^2b + ab^2) = (a + b)(a^2 — ab + b^2) -\)
\(-ab(a + b) = (a + b)(a^2 — ab + b^2 — ab) = (a + b)(a^2 — 2ab + b^2) =\)
\(=(a + b)(a — b)^2\);
9) \(m^3 — 8n^3 — m^2 + 4mn — 4n^2 = (m^3 — 8n^3) — (m^2 — 4mn + 4n^2) =\)
\(=(m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) — (m — 2n)^2 =\)
\(=(m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2 — m + 2n)\);
10) \(a^3 — 4a^2 — 4a — 1 = (a^3 — 1) — (4a^2 — 4a) = (a — 1)(a^2 + a + 1) — \)
\(-4a(a — 1) ==(a — 1)(a^2 + a + 1 — 4a) = (a — 1)(a^2 — 3a + 1)\).
Пример 1: \(a^2 — b^2 — a — b = (a^2 — b^2) — (a + b) = (a — b)(a + b) — (a + b) = \)
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(a^2 — b^2 — a — b\)
Заменяем разность квадратов на множители:
\(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\)
Это преобразует выражение в:
\( (a^2 — b^2) — (a + b) = (a — b)(a + b) — (a + b) \)
Шаг 2: Мы видим общий множитель \((a + b)\), который можно вынести за скобки:
\( = (a + b)(a — b — 1) \)
Теперь выражение упрощается до финальной формы.
Пример 2: \(x — y — x^2 + y^2 = (x — y) — (x^2 — y^2) = (x — y) — (x — y)(x + y) =\)
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(x — y — x^2 + y^2\)
Разлагаем \(x^2 — y^2\) на множители по формуле разности квадратов:
\(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\)
Подставляем это в исходное выражение:
\( (x — y) — (x^2 — y^2) = (x — y) — (x — y)(x + y) \)
Шаг 2: Выделяем общий множитель \((x — y)\):
\( = (x — y)(1 — (x + y)) = (x — y)(1 — x — y) \)
Пример 3: \(4m^2 — 9n^2 + 2m + 3n = (4m^2 — 9n^2) + (2m + 3n) = (2m — 3n)\)
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(4m^2 — 9n^2 + 2m + 3n\)
Разделяем на две части: \(4m^2 — 9n^2\) (разность квадратов) и \(2m + 3n\) (линейное выражение):
\( (4m^2 — 9n^2) + (2m + 3n) \)
Шаг 2: Используем разложение разности квадратов для первой части:
\(4m^2 — 9n^2 = (2m — 3n)(2m + 3n)\)
Теперь получаем:
\( (2m — 3n)(2m + 3n) + (2m + 3n) \)
Шаг 3: Выделяем общий множитель \((2m + 3n)\):
\( = (2m + 3n)((2m — 3n) + 1) = (2m + 3n)(2m — 3n + 1) \)
Пример 4: \(c^2 — d^2 + 4c — 4d = (c^2 — d^2) + (4c — 4d) = (c — d)(c + d) + 4(c — d) = \)
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(c^2 — d^2 + 4c — 4d\)
Разделяем его на два выражения: \(c^2 — d^2\) (разность квадратов) и \(4c — 4d\) (общий множитель 4):
\( (c^2 — d^2) + (4c — 4d) \)
Шаг 2: Разлагаем \(c^2 — d^2\) на множители:
\(c^2 — d^2 = (c — d)(c + d)\)
А также выделяем общий множитель 4 во второй части:
\(4c — 4d = 4(c — d)\)
Шаг 3: Теперь у нас следующее выражение:
\( (c — d)(c + d) + 4(c — d) \)
Шаг 4: Выделяем общий множитель \((c — d)\):
\( = (c — d)(c + d + 4) \)
Пример 5: \(5x^2y — 5xy^2 — x^2 + y^2 = 5xy(x — y) — (x^2 — y^2) = 5xy(x — y) — (x — y)\)
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(5x^2y — 5xy^2 — x^2 + y^2\)
Разлагаем \(x^2 — y^2\) на множители по формуле разности квадратов:
\(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\)
Теперь подставляем это в исходное выражение:
\( 5xy(x — y) — (x^2 — y^2) = 5xy(x — y) — (x — y)(x + y) \)
Шаг 2: Выделяем общий множитель \((x — y)\):
\( = (x — y)(5xy — (x + y)) = (x — y)(5xy — x — y) \)
Пример 6: \(10a + 25 — ab + 5b = (a — 5)^2 — b(a — 5) = (a — 5)(a — 5 — b)\)
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(10a + 25 — ab + 5b\)
Здесь видно, что \(10a + 25\) можно привести к полному квадрату \((a — 5)^2\), а \(ab — 5b\) имеет общий множитель \(b\):
\( (a — 5)^2 — b(a — 5) \)
Шаг 2: Теперь выносим общий множитель \((a — 5)\):
\( = (a — 5)(a — 5 — b) \)
Пример 7: \(8mp + 8np — m^2 — 2mn — n^2 = 8p(m + n) — (m^2 + 2mn + n^2) =\)
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(8mp + 8np — m^2 — 2mn — n^2\)
Мы видим, что можно выделить общий множитель \(8p\) в первых двух терминах:
\( 8p(m + n) — (m^2 + 2mn + n^2) \)
Шаг 2: Вторая часть выражения — это полный квадрат \((m + n)^2\):
\( m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2 \)
Шаг 3: Подставляем в исходное выражение:
\( 8p(m + n) — (m + n)^2 \)
Шаг 4: Выделяем общий множитель \((m + n)\):
\( = (m + n)(8p — (m + n)) = (m + n)(8p — m — n) \)
Пример 8: \(a^3 + b^3 — a^2b — ab^2 = (a^3 + b^3) — (a^2b + ab^2) = (a + b)(a^2 — ab + b^2) -\)
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(a^3 + b^3 — a^2b — ab^2\)
Первым шагом выделяем разность кубов для \(a^3 + b^3\) по формуле разности кубов:
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \)
Подставляем это в исходное выражение:
\( (a^3 + b^3) — (a^2b + ab^2) = (a + b)(a^2 — ab + b^2) — (a^2b + ab^2) \)
Шаг 2: Замечаем, что второй терм можно привести к виду, содержащему \((a + b)\), выделив общий множитель \(-ab(a + b)\):
\( (a + b)(a^2 — ab + b^2) — ab(a + b) \)
Шаг 3: Теперь можно вынести \((a + b)\) за скобки:
\( = (a + b)(a^2 — ab + b^2 — ab) = (a + b)(a^2 — 2ab + b^2) \)
Шаг 4: Видим, что это разложение по формуле полного квадрата:
\( = (a + b)(a — b)^2 \)
Пример 9: \(m^3 — 8n^3 — m^2 + 4mn — 4n^2 = (m^3 — 8n^3) — (m^2 — 4mn + 4n^2) =\)
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(m^3 — 8n^3 — m^2 + 4mn — 4n^2\)
Для первой части выражения \(m^3 — 8n^3\) используем разность кубов:
\( m^3 — 8n^3 = (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) \)
Подставляем это в исходное выражение:
\( (m^3 — 8n^3) — (m^2 — 4mn + 4n^2) = (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) -\)
\(-(m^2 — 4mn + 4n^2) \)
Шаг 2: Выделяем общий множитель \((m — 2n)\):
\( = (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) — (m — 2n)^2 \)
Шаг 3: Теперь можно вынести \((m — 2n)\) за скобки:
\( = (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2 — m + 2n) \)
Пример 10: \(a^3 — 4a^2 — 4a — 1 = (a^3 — 1) — (4a^2 — 4a) = (a — 1)(a^2 + a + 1) — \)
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(a^3 — 4a^2 — 4a — 1\)
Для первой части выражения \(a^3 — 1\) используем разность кубов:
\( a^3 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1) \)
Подставляем это в исходное выражение:
\( (a^3 — 1) — (4a^2 — 4a) = (a — 1)(a^2 + a + 1) — (4a^2 — 4a) \)
Шаг 2: Во второй части выражения \(4a^2 — 4a\) выделяем общий множитель \(4a\):
\( 4a^2 — 4a = 4a(a — 1) \)
Шаг 3: Подставляем это в выражение:
\( (a — 1)(a^2 + a + 1) — 4a(a — 1) \)
Шаг 4: Выделяем общий множитель \((a — 1)\):
\( = (a — 1)(a^2 + a + 1 — 4a) \)
Шаг 5: Упрощаем выражение внутри скобок:
\( = (a — 1)(a^2 — 3a + 1) \)
Это и будет окончательное разложение для данного примера.
Алгебра
