Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 722 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Разложите на множители:
1) m2 — n2 — m + n;
2) c + d — c2 + d2;
3) 16х2 — 25у2 — 4х — 5у;
4) 12а2b3 + 3a3b2 + 16b2 — a2;
5) 49с2 — 14с + 1 — 21ac + 3a;
6) aх2 + ay2 + х4 + 2х2у2 + y4;
7) 27с3 — d3 + 9с2 + 3cd + d2;
8) b3 — 2b2 -2b + 1.
1) \(m^2 — n^2 — m + n = (m^2 — n^2) — (m — n) = (m — n)(m + n) — (m -\)
\(- n) = (m — n)(m + n — 1)\);
2) \(c + d — c^2 + d^2 = (c + d) — (c^2 — d^2) =(c + d) — (c — d)(c + d) = (c + d)(1 — (c — d)) =\)
\(=(c + d)(1 — c + d)\);
3) \(16x^2 — 25y^2 — 4x — 5y = (16x^2 — 25y^2) — (4x + 5y) = (4x — 5y)\)
\((4x + 5y) — (4x + 5y) = (4x + 5y)(4x — 5y — 1)\);
4) \(12a^2b^3 + 3a^3b^2 + 16b^2 — a^2 = 3a^2b^2(4b + a) + (16b^2 — a^2)\)
\(= 3a^2b^2(4b + a) + (4b — a)(4b + a) = (4b + a)(3a^2b^2 + 4b — a)\);
5) \(49c^2 — 14c + 1 — 21ac + 3a = (7c — 1)^2 — 3a(7c — 1) = (7c — 1)\)
\((7c — 1 — 3a)\);
6) \(ax^2 + ay^2 + x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = a(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2)^2 =\)
\((x^2 + y^2)(a + x^2 + y^2)\);
7) \(27c^3 — d^3 + 9c^2 + 3cd + d^2 = (27c^3 — d^3) + (9c^2 + 3cd + d^2)\)
\(= (3c — d)(9c^2 + 3cd + d^2) + (9c^2 + 3cd + d^2) = (9c^2 + 3cd + d^2)\)
\((3c — d + 1)\);
8) \(b^3 — 2b^2 — 2b + 1 = (b^3 + 1) — 2b(b + 1) = (b + 1)(b^2 — b + 1)\)
\(- 2b(b + 1) = (b + 1)(b^2 — b + 1 — 2b) = (b + 1)(b^2 — 3b + 1)\).
Пример 1: \(m^2 — n^2 — m + n = (m^2 — n^2) — (m — n) = (m — n)(m + n) — (m — n) =\)
\(=(m — n)(m + n — 1)\);
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(m^2 — n^2 — m + n\)
Применяем разложение разности квадратов \(m^2 — n^2 = (m — n)(m + n)\):
\( (m^2 — n^2) — (m — n) = (m — n)(m + n) — (m — n) \)
Шаг 2: Выделяем общий множитель \((m — n)\):
\( = (m — n)(m + n — 1) \)
Пример 2: \(c + d — c^2 + d^2 = (c + d) — (c^2 — d^2) = (c + d) — (c — d)(c + d) = \)
\(=(c + d)(1 — (c — d)) =(c + d)(1 — c + d)\);
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(c + d — c^2 + d^2\)
Применяем разность квадратов \(c^2 — d^2 = (c — d)(c + d)\):
\( (c + d) — (c^2 — d^2) = (c + d) — (c — d)(c + d) \)
Шаг 2: Выделяем общий множитель \((c + d)\):
\( = (c + d)(1 — (c — d)) = (c + d)(1 — c + d) \)
Пример 3: \(16x^2 — 25y^2 — 4x — 5y = (16x^2 — 25y^2) — (4x + 5y) = (4x — 5y)(4x + 5y) — \)
\(-(4x + 5y) = (4x + 5y)(4x — 5y — 1)\);
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(16x^2 — 25y^2 — 4x — 5y\)
Применяем разность квадратов для \(16x^2 — 25y^2\):
\( (16x^2 — 25y^2) — (4x + 5y) = (4x — 5y)(4x + 5y) — (4x + 5y) \)
Шаг 2: Выделяем общий множитель \((4x + 5y)\):
\( = (4x + 5y)(4x — 5y — 1) \)
Пример 4: \(12a^2b^3 + 3a^3b^2 + 16b^2 — a^2 = 3a^2b^2(4b + a) + (16b^2 — a^2) = (4b — a)\)
\((4b + a) = (4b + a)(3a^2b^2 + 4b — a)\);
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(12a^2b^3 + 3a^3b^2 + 16b^2 — a^2\)
Группируем выражения \(12a^2b^3 + 3a^3b^2\) и \(16b^2 — a^2\), выделяем общий множитель для первых двух частей:
\( 3a^2b^2(4b + a) + (16b^2 — a^2) \)
Шаг 2: Для второй части применяем разность квадратов для \(16b^2 — a^2\):
\( 16b^2 — a^2 = (4b — a)(4b + a) \)
Шаг 3: Подставляем это в выражение:
\( = (4b — a)(4b + a) + 3a^2b^2(4b + a) \)
Шаг 4: Выделяем общий множитель \((4b + a)\):
\( = (4b + a)(3a^2b^2 + 4b — a) \)
Пример 5: \(49c^2 — 14c + 1 — 21ac + 3a = (7c — 1)^2 — 3a(7c — 1) = (7c — 1)(7c — 1 — 3a)\);
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(49c^2 — 14c + 1 — 21ac + 3a\)
Для первых трех членов \(49c^2 — 14c + 1\) можно выделить полный квадрат \((7c — 1)^2\), а для оставшихся — вынести общий множитель \(3a\):
\( (7c — 1)^2 — 3a(7c — 1) \)
Шаг 2: Подставляем выражение в результат:
\( = (7c — 1)(7c — 1 — 3a) \)
Пример 6: \(ax^2 + ay^2 + x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = a(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2)^2 =\)
\(=(x^2 + y^2)(a + x^2 + y^2)\);
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(ax^2 + ay^2 + x^4 + 2x^2y^2 + y^4\)
Группируем похожие члены, например \(ax^2 + ay^2\) и \(x^4 + 2x^2y^2 + y^4\), и видим, что \(x^4 + 2x^2y^2 + y^4\) можно записать как \((x^2 + y^2)^2\):
\( a(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2)^2 \)
Шаг 2: Выделяем общий множитель \((x^2 + y^2)\):
\( = (x^2 + y^2)(a + x^2 + y^2) \)
Пример 7: \(27c^3 — d^3 + 9c^2 + 3cd + d^2 = (27c^3 — d^3) + (9c^2 + 3cd + d^2) = (3c — d)\)
\((9c^2 + 3cd + d^2) + (9c^2 + 3cd + d^2) = (9c^2 + 3cd + d^2)(3c — d + 1)\);
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(27c^3 — d^3 + 9c^2 + 3cd + d^2\)
Разлагаем \(27c^3 — d^3\) по формуле разности кубов:
\( 27c^3 — d^3 = (3c — d)(9c^2 + 3cd + d^2) \)
Теперь подставляем это в исходное выражение:
\( (3c — d)(9c^2 + 3cd + d^2) + (9c^2 + 3cd + d^2) \)
Шаг 2: Выделяем общий множитель \((9c^2 + 3cd + d^2)\):
\( = (9c^2 + 3cd + d^2)(3c — d + 1) \)
Пример 8: \(b^3 — 2b^2 — 2b + 1 = (b^3 + 1) — 2b(b + 1) = (b + 1)(b^2 — b + 1) — 2b(b + 1) =\)
\(=(b + 1)(b^2 — b + 1 — 2b) = (b + 1)(b^2 — 3b + 1)\).
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(b^3 — 2b^2 — 2b + 1\)
Для первых двух членов \(b^3 + 1\) используем разложение суммы кубов:
\( b^3 + 1 = (b + 1)(b^2 — b + 1) \)
Теперь подставляем это в исходное выражение:
\( (b^3 + 1) — 2b(b + 1) = (b + 1)(b^2 — b + 1) — 2b(b + 1) \)
Шаг 2: Выделяем общий множитель \((b + 1)\):
\( = (b + 1)(b^2 — b + 1 — 2b) \)
Упрощаем выражение внутри скобок:
\( = (b + 1)(b^2 — 3b + 1) \)
Алгебра
