Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 725 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) х3 — 4х = 0;
2) х4 — х2 = 0;
3) х5 — 36х3 = 0;
4) 9х3 — х = 0;
5) х3 — 10х2 + 25х = 0;
6) х3 + 2х2 — 9х — 18 = 0;
7) х3 — 5х2 + 4х — 20 = 0;
8) х5 — х4 — х + 1 = 0.
1) \(x^3 — 4x = 0\)
\(x(x^2 — 4) = 0\)
\(x(x-2)(x+2) = 0\)
\(x = 0\) или \(x — 2 = 0\) или \(x + 2 = 0\)
\(x = 2\), \(x = -2\).
Ответ: \(x = \pm2; x = 0.\)
2) \(x^4 — x^2 = 0\)
\(x^2(x^2 — 1) = 0\)
\(x^2(x-1)(x+1) = 0\)
\(x^2 = 0\) или \(x — 1 = 0\) или \(x + 1 = 0\)
\(x = 0\), \(x = 1\), \(x = -1\).
Ответ: \(x = \pm1; x = 0.\)
3) \(x^5 — 36x^3 = 0\)
\(x^3(x^2 — 36) = 0\)
\(x^3(x — 6)(x + 6) = 0\)
\(x^3 = 0\) или \(x — 6 = 0\) или \(x + 6 = 0\)
\(x = 0\), \(x = 6\), \(x = -6\).
Ответ: \(x = \pm6; x = 0.\)
4) \(9x^3 — x = 0\)
\(x(9x^2 — 1) = 0\)
\(x(3x — 1)(3x + 1) = 0\)
\(x = 0\) или \(3x — 1 = 0\) или \(3x + 1 = 0\)
\(x = 0\), \(x = \frac{1}{3}\), \(x = -\frac{1}{3}\).
Ответ: \(x = \pm\frac{1}{3}; x = 0.\)
5) \(x^3 — 10x^2 + 25x = 0\)
\(x(x^2 — 10x + 25) = 0\)
\(x(x — 5)^2 = 0\)
\(x = 0\) или \(x — 5 = 0\)
\(x = 0\), \(x = 5\).
Ответ: \(x = 0; x = 5.\)
6) \(x^3 + 2x^2 — 9x — 18 = 0\)
\(x^2(x+2) — 9(x+2) = 0\)
\((x+2)(x^2 — 9) = 0\)
\((x+2)(x-3)(x+3) = 0\)
\(x + 2 = 0\) или \(x — 3 = 0\) или \(x + 3 = 0\)
\(x = -2\), \(x = 3\), \(x = -3\).
Ответ: \(x = \pm3; x = -2.\)
7) \(x^3 — 5x^2 + 4x — 20 = 0\)
\(x^2(x-5) + 4(x-5) = 0\)
\((x-5)(x^2 + 4) = 0\)
\(x — 5 = 0\) или \(x^2 + 4 = 0\)
\(x = 5\), \(x^2 = -4 \rightarrow\) решений нет.
Ответ: \(x = 5.\)
8) \(x^5 — x^4 — x + 1 = 0\)
\(x^4(x-1) — (x-1) = 0\)
\((x-1)(x^4 — 1) = 0\)
\((x-1)(x^2 — 1)(x^2 + 1) = 0\)
\((x-1)(x-1)(x+1)(x^2 + 1) = 0\)
\(x — 1 = 0\) или \(x + 1 = 0\) или \(x^2 + 1 = 0\)
\(x = 1\), \(x = -1\), \(x^2 = -1 \rightarrow\) решений нет.
Ответ: \(x = \pm1.\)
Пример 1: \(x^3 — 4x = 0\)
Шаг 1: Выносим общий множитель \(x\):
\( x(x^2 — 4) = 0 \)
Шаг 2: Разлагаем \(x^2 — 4\) как разность квадратов:
\( x(x — 2)(x + 2) = 0 \)
Шаг 3: Получаем решения:
\( x = 0 \) или \( x — 2 = 0 \) или \( x + 2 = 0 \)
Шаг 4: Решения: \( x = 2 \), \( x = -2 \).
Ответ: \(x = \pm 2; x = 0\).
Пример 2: \(x^4 — x^2 = 0\)
Шаг 1: Выносим общий множитель \(x^2\):
\( x^2(x^2 — 1) = 0 \)
Шаг 2: Разлагаем \(x^2 — 1\) как разность квадратов:
\( x^2(x — 1)(x + 1) = 0 \)
Шаг 3: Получаем решения:
\( x^2 = 0 \) или \( x — 1 = 0 \) или \( x + 1 = 0 \)
Шаг 4: Решения: \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( x = -1 \).
Ответ: \(x = \pm 1; x = 0\).
Пример 3: \(x^5 — 36x^3 = 0\)
Шаг 1: Выносим общий множитель \(x^3\):
\( x^3(x^2 — 36) = 0 \)
Шаг 2: Разлагаем \(x^2 — 36\) как разность квадратов:
\( x^3(x — 6)(x + 6) = 0 \)
Шаг 3: Получаем решения:
\( x^3 = 0 \) или \( x — 6 = 0 \) или \( x + 6 = 0 \)
Шаг 4: Решения: \( x = 0 \), \( x = 6 \), \( x = -6 \).
Ответ: \(x = \pm 6; x = 0\).
Пример 4: \(9x^3 — x = 0\)
Шаг 1: Выносим общий множитель \(x\):
\( x(9x^2 — 1) = 0 \)
Шаг 2: Разлагаем \(9x^2 — 1\) как разность квадратов:
\( x(3x — 1)(3x + 1) = 0 \)
Шаг 3: Получаем решения:
\( x = 0 \) или \( 3x — 1 = 0 \) или \( 3x + 1 = 0 \)
Шаг 4: Решения: \( x = 0 \), \( x = \frac{1}{3} \), \( x = -\frac{1}{3} \).
Ответ: \(x = \pm \frac{1}{3}; x = 0\).
Пример 5: \(x^3 — 10x^2 + 25x = 0\)
Шаг 1: Выносим общий множитель \(x\):
\( x(x^2 — 10x + 25) = 0 \)
Шаг 2: Разкладываем \(x^2 — 10x + 25\) как полный квадрат:
\( x(x — 5)^2 = 0 \)
Шаг 3: Получаем решения:
\( x = 0 \) или \( x — 5 = 0 \)
Шаг 4: Решения: \( x = 0 \), \( x = 5 \).
Ответ: \(x = 0; x = 5\).
Пример 6: \(x^3 + 2x^2 — 9x — 18 = 0\)
Шаг 1: Группируем выражения и выделяем общий множитель \((x + 2)\):
\( x^2(x + 2) — 9(x + 2) = 0 \)
Шаг 2: Выделяем общий множитель \((x + 2)\):
\( (x + 2)(x^2 — 9) = 0 \)
Шаг 3: Разкладываем \(x^2 — 9\) как разность квадратов:
\( (x + 2)(x — 3)(x + 3) = 0 \)
Шаг 4: Получаем решения:
\( x + 2 = 0 \) или \( x — 3 = 0 \) или \( x + 3 = 0 \)
Шаг 5: Решения: \( x = -2 \), \( x = 3 \), \( x = -3 \).
Ответ: \(x = \pm 3; x = -2\).
Пример 7: \(x^3 — 5x^2 + 4x — 20 = 0\)
Шаг 1: Группируем выражения и выделяем общий множитель \((x — 5)\):
\( x^2(x — 5) + 4(x — 5) = 0 \)
Шаг 2: Выделяем общий множитель \((x — 5)\):
\( (x — 5)(x^2 + 4) = 0 \)
Шаг 3: Получаем решения:
\( x — 5 = 0 \) или \( x^2 + 4 = 0 \)
Шаг 4: Решение для \(x^2 + 4 = 0\) не имеет вещественных решений. Поэтому решение: \( x = 5 \).
Ответ: \(x = 5\).
Пример 8: \(x^5 — x^4 — x + 1 = 0\)
Шаг 1: Группируем выражения и выделяем общий множитель \((x — 1)\):
\( x^4(x — 1) — (x — 1) = 0 \)
Шаг 2: Выделяем общий множитель \((x — 1)\):
\( (x — 1)(x^4 — 1) = 0 \)
Шаг 3: Разкладываем \(x^4 — 1\) как разность квадратов:
\( (x — 1)(x^2 — 1)(x^2 + 1) = 0 \)
Шаг 4: Разкладываем \(x^2 — 1\) как разность квадратов:
\( (x — 1)(x — 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0 \)
Шаг 5: Получаем решения:
\( x — 1 = 0 \) или \( x + 1 = 0 \) или \( x^2 + 1 = 0 \)
Шаг 6: Решения для \(x^2 + 1 = 0\) не имеет вещественных решений. Поэтому решения: \( x = 1 \), \( x = -1 \).
Ответ: \(x = \pm 1\).
Алгебра
