Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 731 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите тождество:
1) (а + b + с)3 — а3 — b3 — с3 = 3(а + b)(b + с)(а + с);
2) (а — b)3 +(b- с)3 — (а- с)3 = -3 (а -b)(b- с) (а — с).
1)
\[(a + b + c)^3 — a^3 — b^3 — c^3 = 3(a + b)(b + c)(a + c);\]
\[(a + b + c)^3 — a^3 — b^3 — c^3 = ((a + b + c)^3 — a^3) — (b^3 + c^3) =\]
\[((a + b + c — a)((a + b + c)^2 + a(a + b + c) + a^2) -\]
\[- (b + c)(b^2 — bc + c^2) = (b + c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +\]
\[+ 2ac + 2bc + a^2 + ab + ac + a^2) — (b + c)(b^2 — bc + c^2) =\]
\[(b + c)(3a^2 + b^2 + c^2 + 3ab + 3ac + 2bc — (b^2 — bc + c^2)) =\]
\[(b + c)(3a^2 + b^2 + c^2 + 3ab + 3ac + 2bc — b^2 + bc — c^2) =\]
\[(b + c)(3a^2 + 3ab + 3ac + 3bc) = 3(b + c)(a^2 + ab + ac + bc) =\]
\[= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)) = 3(b + c)(a + b)(a + c);\]
Следовательно:
\[
3(b + c)(a + b)(a + c) = 3(a + b)(b + c)(a + c) \to \text{верно}.
\]
2)
\[(a — b)^3 + (b — c)^3 — (a — c)^3 = -3(a — b)(b — c)(a — c);\]
\[(a — b)^3 + (b — c)^3 — (a — c)^3 = ((a — b) + (b — c))((a — b)^2 -\]
\[- (a — b)(b — c) + (b — c)^2) — (a — c)^3 = (a — c)(a^2 — 2ab + b^2 -\]
\[- ab + ac + b^2 — bc + b^2 — 2bc + c^2) — (a — c)^3 = (a — c)(a^2 +\]
\[+ 3b^2 + c^2 — 3ab — 3bc + ac) — (a — c)^3 = (a — c)(a^2 + 3b^2 + c^2 -\]
\[- 3ab — 3bc + ac — (a — c)^2) = (a — c)(a^2 + 3b^2 + c^2 — 3ab — 3bc +\]
\[+ ac — a^2 + 2ac — c^2) = (a — c)(3b^2 — 3ab — 3bc + 3ac) = (a — c)(b -\]
\[- a)(3b — 3c) = 3(a — c)(b — a)(b — c);\]
Следовательно:
\[
-3(a — c)(a — b)(b — c) = -3(a — b)(b — c)(a — c) \to \text{верно}.
\]
Шаг 1: Начнем с выражения \( (a + b + c)^3 — a^3 — b^3 — c^3 \). Мы видим, что у нас есть куб суммы \( (a + b + c)^3 \), который нужно уменьшить на кубы отдельных членов. Мы можем воспользоваться формулой разности кубов для упрощения выражения.
Шаг 2: Применяем разность кубов к выражению \( (a + b + c)^3 — a^3 \). Это можно записать как:
\( (a + b + c)^3 — a^3 = (a + b + c — a)((a + b + c)^2 + a(a + b + c) + a^2) \).
Этот шаг использует формулу разности кубов: \( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \), где \( x = a + b + c \), а \( y = a \). Таким образом, мы получаем выражение для разности этих кубов.
Шаг 3: Теперь рассмотрим выражение \( b^3 + c^3 \), которое нужно вычесть из предыдущего результата. Мы используем тот же метод для разности кубов:
\( — (b + c)(b^2 — bc + c^2) \).
Это опять-таки применение формулы разности кубов, где \( x = b + c \) и \( y = b \).
Шаг 4: Получаем выражение \( (b + c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc + a^2 + ab + ac + a^2) \), которое нужно упростить.
Шаг 5: Упрощаем выражение, собирая все похожие термины:
\( (b + c)(3a^2 + b^2 + c^2 + 3ab + 3ac + 2bc) \).
Мы объединяем однотипные члены, чтобы упростить выражение. Например, \( a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 \).
Шаг 6: Теперь у нас есть выражение \( (b + c)(3a^2 + 3ab + 3ac + 3bc) \), которое можно записать как:
\( 3(b + c)(a^2 + ab + ac + bc) \).
Шаг 7: Мы видим, что выражение можно привести к виду:
\( 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)) \).
Это позволяет нам группировать похожие члены и выделить общие множители. Таким образом, мы получаем факторами выражение для \( 3(b + c)(a + b)(a + c) \).
Шаг 8: Следовательно, мы получаем равенство:
\( 3(b + c)(a + b)(a + c) = 3(a + b)(b + c)(a + c) \to \text{верно}.\)
Шаг 1: Переходим ко второму выражению: \( (a — b)^3 + (b — c)^3 — (a — c)^3 \). Здесь мы также применим разность кубов, как и в первом выражении.
Шаг 2: Используем формулу разности кубов для каждого из выражений:
\( (a — b)^3 + (b — c)^3 — (a — c)^3 = ((a — b) + (b — c))((a — b)^2 — (a — b)\)
\((b — c) + (b — c)^2) — (a — c)^3 \).
Шаг 3: Проводим аналогичные операции с разностями внутри скобок. Упростим и перепишем, используя общие члены.
Шаг 4: Получаем следующее выражение:
\( (a — c)(a^2 — 2ab + b^2 — ab + ac + b^2 — bc + b^2 — 2bc + c^2) — (a — c)^3 \).
Шаг 5: Упрощим это выражение, групируя однотипные элементы, такие как \( b^2 \), и получаем более компактное выражение:
\( (a — c)(a^2 + 3b^2 + c^2 — 3ab — 3bc + ac) — (a — c)^3 \).
Шаг 6: Следующий шаг — упростить выражение, раскрывая скобки и уменьшая количество членов:
\( (a — c)(3b^2 — 3ab — 3bc + 3ac) = (a — c)(b — a)(3b — 3c) \).
Шаг 7: Мы получаем итоговое равенство:
\( -3(a — c)(a — b)(b — c) = -3(a — b)(b — c)(a — c) \to \text{верно}.\)
Алгебра
