1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Учебник 📕 Мерзляк, Полонский, Якир — Все Части
Алгебра
7 класс учебник Мерзляк
7 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Авторы
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Год
2018-2024.
Описание

Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.

Основные темы

  • Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
  • Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
  • Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
  • Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
  • Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.

Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.

ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 731 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите тождество:

1) (а + b + с)3 — а3 — b3 — с3 = 3(а + b)(b + с)(а + с);

2) (а — b)3 +(b- с)3 — (а- с)3 = -3 (а -b)(b- с) (а — с).

Краткий ответ:

1)
\[(a + b + c)^3 — a^3 — b^3 — c^3 = 3(a + b)(b + c)(a + c);\]

\[(a + b + c)^3 — a^3 — b^3 — c^3 = ((a + b + c)^3 — a^3) — (b^3 + c^3) =\]

\[((a + b + c — a)((a + b + c)^2 + a(a + b + c) + a^2) -\]

\[- (b + c)(b^2 — bc + c^2) = (b + c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +\]

\[+ 2ac + 2bc + a^2 + ab + ac + a^2) — (b + c)(b^2 — bc + c^2) =\]

\[(b + c)(3a^2 + b^2 + c^2 + 3ab + 3ac + 2bc — (b^2 — bc + c^2)) =\]

\[(b + c)(3a^2 + b^2 + c^2 + 3ab + 3ac + 2bc — b^2 + bc — c^2) =\]

\[(b + c)(3a^2 + 3ab + 3ac + 3bc) = 3(b + c)(a^2 + ab + ac + bc) =\]

\[= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)) = 3(b + c)(a + b)(a + c);\]

Следовательно:

\[
3(b + c)(a + b)(a + c) = 3(a + b)(b + c)(a + c) \to \text{верно}.
\]

2)

\[(a — b)^3 + (b — c)^3 — (a — c)^3 = -3(a — b)(b — c)(a — c);\]

\[(a — b)^3 + (b — c)^3 — (a — c)^3 = ((a — b) + (b — c))((a — b)^2 -\]

\[- (a — b)(b — c) + (b — c)^2) — (a — c)^3 = (a — c)(a^2 — 2ab + b^2 -\]

\[- ab + ac + b^2 — bc + b^2 — 2bc + c^2) — (a — c)^3 = (a — c)(a^2 +\]

\[+ 3b^2 + c^2 — 3ab — 3bc + ac) — (a — c)^3 = (a — c)(a^2 + 3b^2 + c^2 -\]

\[- 3ab — 3bc + ac — (a — c)^2) = (a — c)(a^2 + 3b^2 + c^2 — 3ab — 3bc +\]

\[+ ac — a^2 + 2ac — c^2) = (a — c)(3b^2 — 3ab — 3bc + 3ac) = (a — c)(b -\]

\[- a)(3b — 3c) = 3(a — c)(b — a)(b — c);\]

Следовательно:

\[
-3(a — c)(a — b)(b — c) = -3(a — b)(b — c)(a — c) \to \text{верно}.
\]

Подробный ответ:

Шаг 1: Начнем с выражения \( (a + b + c)^3 — a^3 — b^3 — c^3 \). Мы видим, что у нас есть куб суммы \( (a + b + c)^3 \), который нужно уменьшить на кубы отдельных членов. Мы можем воспользоваться формулой разности кубов для упрощения выражения.

Шаг 2: Применяем разность кубов к выражению \( (a + b + c)^3 — a^3 \). Это можно записать как:

\( (a + b + c)^3 — a^3 = (a + b + c — a)((a + b + c)^2 + a(a + b + c) + a^2) \).

Этот шаг использует формулу разности кубов: \( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \), где \( x = a + b + c \), а \( y = a \). Таким образом, мы получаем выражение для разности этих кубов.

Шаг 3: Теперь рассмотрим выражение \( b^3 + c^3 \), которое нужно вычесть из предыдущего результата. Мы используем тот же метод для разности кубов:

\( — (b + c)(b^2 — bc + c^2) \).

Это опять-таки применение формулы разности кубов, где \( x = b + c \) и \( y = b \).

Шаг 4: Получаем выражение \( (b + c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc + a^2 + ab + ac + a^2) \), которое нужно упростить.

Шаг 5: Упрощаем выражение, собирая все похожие термины:

\( (b + c)(3a^2 + b^2 + c^2 + 3ab + 3ac + 2bc) \).

Мы объединяем однотипные члены, чтобы упростить выражение. Например, \( a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 \).

Шаг 6: Теперь у нас есть выражение \( (b + c)(3a^2 + 3ab + 3ac + 3bc) \), которое можно записать как:

\( 3(b + c)(a^2 + ab + ac + bc) \).

Шаг 7: Мы видим, что выражение можно привести к виду:

\( 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)) \).

Это позволяет нам группировать похожие члены и выделить общие множители. Таким образом, мы получаем факторами выражение для \( 3(b + c)(a + b)(a + c) \).

Шаг 8: Следовательно, мы получаем равенство:

\( 3(b + c)(a + b)(a + c) = 3(a + b)(b + c)(a + c) \to \text{верно}.\)

Шаг 1: Переходим ко второму выражению: \( (a — b)^3 + (b — c)^3 — (a — c)^3 \). Здесь мы также применим разность кубов, как и в первом выражении.

Шаг 2: Используем формулу разности кубов для каждого из выражений:

\( (a — b)^3 + (b — c)^3 — (a — c)^3 = ((a — b) + (b — c))((a — b)^2 — (a — b)\)

\((b — c) + (b — c)^2) — (a — c)^3 \).

Шаг 3: Проводим аналогичные операции с разностями внутри скобок. Упростим и перепишем, используя общие члены.

Шаг 4: Получаем следующее выражение:

\( (a — c)(a^2 — 2ab + b^2 — ab + ac + b^2 — bc + b^2 — 2bc + c^2) — (a — c)^3 \).

Шаг 5: Упрощим это выражение, групируя однотипные элементы, такие как \( b^2 \), и получаем более компактное выражение:

\( (a — c)(a^2 + 3b^2 + c^2 — 3ab — 3bc + ac) — (a — c)^3 \).

Шаг 6: Следующий шаг — упростить выражение, раскрывая скобки и уменьшая количество членов:

\( (a — c)(3b^2 — 3ab — 3bc + 3ac) = (a — c)(b — a)(3b — 3c) \).

Шаг 7: Мы получаем итоговое равенство:

\( -3(a — c)(a — b)(b — c) = -3(a — b)(b — c)(a — c) \to \text{верно}.\)


Алгебра

Общая оценка
4.3 / 5
Комментарии
Другие предметы