Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 733 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Представьте в виде произведения выражение:
1) (5х — у2)(5х + у2) — 2(15х — 7у2) — 40;
2) (3m — 2n)(12m + 5а) + 3m(3а + 4) — 2 (3n2 — 20n + 12).
1) (5x — y²)(5x + y²) — 2(15x — 7y²) — 40 = 25x² — y⁴ —
-30x + 14y² — 40 = (25x² — 30x + 9) — (y⁴ — 14y² + 49) =
= (5x — 3)² — (y² — 7)² = (5x — 3 — y² + 7)(5x — 3 + y² — 7) =
= (5x — y² + 4)(5x + y² — 10).
2) (3m — 2n)(12m + 5n) + 3m(3n + 4) — 2(3n² — 20n + 12) =
= 36m² + 15mn — 24mn — 10n² + 9mn + 12m — 6n² + 40n — 24 =
= 36m² — 16n² + 12m + 40n — 24 = (36m² + 12m + 1) —
— (16n² — 40n + 25) = (6m + 1)² — (4n — 5)² = (6m + 1 — 4n + 5) ·
· (6m + 1 + 4n — 5) = (6m — 4n + 6)(6m + 4n — 4) =
= 4(3m — 2n + 3)(3m + 2n — 2).
Шаг 1: Начнем с первого выражения \( (5x — y^2)(5x + y^2) — 2(15x — 7y^2) — 40 \). Раскроем скобки в каждом из множителей:
\( (5x — y^2)(5x + y^2) = 25x^2 — y^4 \) — это формула разности квадратов, так как мы имеем произведение суммы и разности двух чисел.
\( -2(15x — 7y^2) = -30x + 14y^2 \) — раскрываем скобки и умножаем.
\( 25x^2 — y^4 — 30x + 14y^2 — 40 \) — это выражение после раскрытия скобок.
Шаг 2: Преобразуем выражение дальше, группируя схожие элементы:
\( (25x^2 — 30x + 9) — (y^4 — 14y^2 + 49) \) — добавляем и вычитаем одинаковые члены, чтобы создать полный квадрат.
Здесь, например, \( 25x^2 — 30x + 9 \) — это полный квадрат, который можно записать как \( (5x — 3)^2 \), а \( y^4 — 14y^2 + 49 \) — тоже полный квадрат, \( (y^2 — 7)^2 \).
Шаг 3: Записываем выражение как разность квадратов:
\( (5x — 3)^2 — (y^2 — 7)^2 \) — это стандартная форма разности квадратов.
Шаг 4: Теперь применяем формулу разности квадратов:
\( (5x — 3 — (y^2 — 7))(5x — 3 + (y^2 — 7)) \)
Это дает нам результат:
\( (5x — y^2 + 4)(5x + y^2 — 10) \)
Итак, мы получаем итоговое разложение для исходного выражения:
\( (5x — y^2 + 4)(5x + y^2 — 10) \)
Шаг 1: Переходим ко второму выражению \( (3m — 2n)(12m + 5n) + 3m(3n + 4) — 2(3n^2 — 20n + 12) \). Раскроем скобки:
\( (3m — 2n)(12m + 5n) = 36m^2 + 15mn — 24mn — 10n^2 \) — это произведение двух биномиальных выражений.
\( 3m(3n + 4) = 9mn + 12m \) — раскрытие скобок и умножение.
\( -2(3n^2 — 20n + 12) = -6n^2 + 40n — 24 \) — раскрытие скобок и умножение.
\( 36m^2 + 15mn — 24mn + 9mn + 12m — 10n^2 — 6n^2 + 40n — 24 \) — это выражение после раскрытия всех скобок.
Шаг 2: Группируем похожие члены и упрощаем:
\( 36m^2 — 16n^2 + 12m + 40n — 24 \) — мы объединяем однотипные члены, например, \( 15mn — 24mn + 9mn = 0mn \).
Шаг 3: Далее, выделим полный квадрат для \( 36m^2 + 12m + 1 \) и \( 16n^2 — 40n + 25 \):
\( (36m^2 + 12m + 1) — (16n^2 — 40n + 25) \) — это превращается в два полных квадрата, которые можно записать как:
\( (6m + 1)^2 — (4n — 5)^2 \)
Шаг 4: Применяем формулу разности квадратов:
\( (6m + 1 — (4n — 5))(6m + 1 + (4n — 5)) \)
Это дает результат:
\( (6m — 4n + 6)(6m + 4n — 4) \)
Итак, итоговое разложение для второго выражения:
\( 4(3m — 2n + 3)(3m + 2n — 2) \)
Алгебра
