ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 738 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (2n — 1)3 — 4а2 + 2n + 1 делится нацело на 16.

(2n — 1)³ — 4n² + 2n + 1 = (2n — 1)(2n — 1)² — 4n² + 2n + 1 =

= (2n — 1)(4n² — 4n + 1) — 4n² + 2n + 1 = 8n³ — 8n² + 2n — 4n² +

+ 4n — 1 — 4n² + 2n + 1 = 8n³ — 16n² + 8n = 8n(n² — 2n + 1) =

= 8n(n — 1)² → делится нацело на 16, так как множитель 8

делится нацело на 8, а множитель n(n — 1) делится нацело на 2,

следовательно, 8n(n — 1)² делится нацело на 16.

Шаг 1: Начнем с выражения \( (2n — 1)^3 — 4n^2 + 2n + 1 \). Мы можем сначала раскрыть куб \( (2n — 1)^3 \) и затем упростить выражение.

\( (2n — 1)^3 — 4n^2 + 2n + 1 = (2n — 1)(2n — 1)^2 — 4n^2 + 2n + 1 \)

Теперь раскроем квадрат \( (2n — 1)^2 \) и получим:

\( (2n — 1)(4n^2 — 4n + 1) — 4n^2 + 2n + 1 \)

Шаг 2: Умножаем \( (2n — 1) \) на \( (4n^2 — 4n + 1) \), раскрывая скобки:

\( = (2n — 1)(4n^2 — 4n + 1) = 2n(4n^2 — 4n + 1) — 1(4n^2 — 4n + 1) \)

Теперь раскрываем обе части:

\( = 8n^3 — 8n^2 + 2n — 4n^2 + 4n — 1 \)

Шаг 3: Собираем подобные члены:

\( = 8n^3 — 8n^2 + 2n — 4n^2 + 4n — 1 — 4n^2 + 2n + 1 \)

Упрощаем выражение:

\( = 8n^3 — 16n^2 + 8n \)

Шаг 4: Мы можем выделить общий множитель 8:

\( = 8n(n^2 — 2n + 1) \)

Теперь у нас есть выражение, которое можно записать как \( 8n(n — 1)^2 \). Это выражение делится нацело на 16, так как множитель 8 делится на 8, а множитель \( n(n — 1) \) делится на 2, следовательно, результат делится на 16.

Ответ: \( 8n(n — 1)^2 \) делится нацело на 16.