Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 739 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Разложите на множители:
1)х4-5х2+4;
2) х4 + х2 + 1;
3) 4х4 -12х2 + 1;
4) х5 + х + 1;
5) х4 + 4;
6)х8+х4-2.
1) x⁴ — 5x² + 4 = x⁴ — 4x² + 4 — x² = x²(x² — 4) — (x² — 4) =
= (x² — 4)(x² — 1) = (x — 2)(x + 2)(x — 1)(x + 1);
2) x⁴ + x² + 1 = x⁴ + 2x² + 1 — x² = (x² + 1)² — x² =
= (x² + 1 — x)(x² + 1 + x);
3) 4x⁴ — 12x² + 1 = 4x⁴ + 4x² + 1 — 16x² = (2x² + 1)² — 16x² =
= (2x² + 1 — 4x)(2x² + 1 + 4x);
4) x⁵ + x + 1 = x⁵ — x² + x² + x + 1 = x²(x³ — 1) + (x² + x + 1) =
= x²(x — 1)(x² + x + 1) + (x² + x + 1) = (x² + x + 1)·(x²(x — 1) + 1) =
= (x² + x + 1)(x³ — x² + 1);
5) x⁴ + 4 = x⁴ + 4x² + 4 — 4x² = (x² + 2)² — 4x² =
= (x² + 2 — 2x)(x² + 2 + 2x);
6) x⁸ + x⁴ + 2 = x⁸ — 2x⁴ + 1 + 3x⁴ — 3 = (x⁴ — 1)² + 3(x⁴ — 1) =
= (x⁴ — 1)(x⁴ — 1 + 3) = (x⁴ — 1)(x⁴ + 2) = (x² — 1)(x² + 1)·(x⁴ + 2) =
= (x — 1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 2).
Шаг 1: Начнем с выражения \( x^4 — 5x^2 + 4 \). Мы можем преобразовать это выражение следующим образом:
\( x^4 — 5x^2 + 4 = x^4 — 4x^2 + 4 — x^2 = x^2(x^2 — 4) — (x^2 — 4) \)
Теперь мы видим общий множитель \( (x^2 — 4) \), и можем вынести его за скобки:
\( = (x^2 — 4)(x^2 — 1) \)
Далее раскладываем \( x^2 — 4 \) и \( x^2 — 1 \) по формуле разности квадратов:
\( = (x — 2)(x + 2)(x — 1)(x + 1) \)
Ответ 1: \( x^4 — 5x^2 + 4 = (x — 2)(x + 2)(x — 1)(x + 1) \)
Шаг 2: Рассмотрим выражение \( x^4 + x^2 + 1 \). Мы можем преобразовать его следующим образом:
\( x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 — x^2 = (x^2 + 1)^2 — x^2 \)
Теперь используем формулу разности квадратов:
\( = (x^2 + 1 — x)(x^2 + 1 + x) \)
Ответ 2: \( x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1 — x)(x^2 + 1 + x) \)
Шаг 3: Переходим к выражению \( 4x^4 — 12x^2 + 1 \). Мы преобразуем его следующим образом:
\( 4x^4 — 12x^2 + 1 = 4x^4 + 4x^2 + 1 — 16x^2 = (2x^2 + 1)^2 — 16x^2 \)
Применяем разность квадратов:
\( = (2x^2 + 1 — 4x)(2x^2 + 1 + 4x) \)
Ответ 3: \( 4x^4 — 12x^2 + 1 = (2x^2 + 1 — 4x)(2x^2 + 1 + 4x) \)
Шаг 4: Рассматриваем выражение \( x^5 + x + 1 \). Мы преобразуем его следующим образом:
\( x^5 + x + 1 = x^5 — x^2 + x^2 + x + 1 = x^2(x^3 — 1) + (x^2 + x + 1) \)
Теперь раскладываем \( x^3 — 1 \) и получаем:
\( = x^2(x — 1)(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1) \)
Выносим общий множитель \( (x^2 + x + 1) \):
\( = (x^2 + x + 1)(x^2(x — 1) + 1) \)
\( = (x^2 + x + 1)(x^3 — x^2 + 1) \)
Ответ 4: \( x^5 + x + 1 = (x^2 + x + 1)(x^3 — x^2 + 1) \)
Шаг 5: Рассматриваем выражение \( x^4 + 4 \). Мы преобразуем его следующим образом:
\( x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 — 4x^2 = (x^2 + 2)^2 — 4x^2 \)
Применяем разность квадратов:
\( = (x^2 + 2 — 2x)(x^2 + 2 + 2x) \)
Ответ 5: \( x^4 + 4 = (x^2 + 2 — 2x)(x^2 + 2 + 2x) \)
Шаг 6: Переходим к выражению \( x^8 + x^4 + 2 \). Мы преобразуем его следующим образом:
\( x^8 + x^4 + 2 = x^8 — 2x^4 + 1 + 3x^4 — 3 = (x^4 — 1)^2 + 3(x^4 — 1) \)
Применяем разложение:
\( = (x^4 — 1)(x^4 — 1 + 3) = (x^4 — 1)(x^4 + 2) \)
Далее раскладываем \( x^4 — 1 \) по формуле разности квадратов:
\( = (x^2 — 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2) \)
И снова раскладываем \( x^2 — 1 \):
\( = (x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2) \)
Ответ 6: \( x^8 + x^4 + 2 = (x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2) \)
Алгебра
