Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 817 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Известно, что \( x + y = \frac{a^2}{4} \), \( y + z = -a \), \( x + z = 1 \). Докажите, что выражение \( x + y + z \) принимает только неотрицательные значения.
\[
x + y = \frac{a^2}{4}, \quad y + z = -a, \quad x + z = 1
\]
\[
x + y + z = \frac{1}{2}, \quad 2(x + y + z) = 1 2(x + y + z) = 1
\]
\[
2(x + y + z) = (2x + 2y + 2z) = 1
\]
\[
\frac{1}{2} \cdot ((x + y) + (x + z) + (y + z)) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{a^2}{4} + 1 — a\right) = \frac{1}{2} \cdot \]
\[\cdot\left(\frac{a^2}{2} — 1\right)^2
\]
Так как \(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{a^2}{2} — 1\right)^2 > 0\) , то при любых значениях \(a\) значение выражения принимает только неотрицательные значения.
Задача:
Известно, что \( x + y = \frac{a^2}{4} \), \( y + z = -a \), \( x + z = 1 \). Докажите, что выражение \( x + y + z \) принимает только неотрицательные значения.
Решение:
Дано три уравнения:
\( x + y = \frac{a^2}{4}, \quad y + z = -a, \quad x + z = 1\)
1) Найдем выражение для \( x + y + z \):
Для того чтобы найти \( x + y + z \), сложим все три уравнения:
\( (x + y) + (y + z) + (x + z) = \frac{a^2}{4} + (-a) + 1\)
Получаем:
\( 2x + 2y + 2z = \frac{a^2}{4} — a + 1\)
2) Разделим обе стороны на 2:
Получаем выражение для \( x + y + z \):
\( x + y + z = \frac{a^2}{8} — \frac{a}{2} + \frac{1}{2}\)
3) Докажем, что \( x + y + z \geq 0 \):
Для доказательства того, что \( x + y + z \geq 0 \), нужно показать, что:
\( \frac{a^2}{8} — \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \geq 0\)
Перепишем это неравенство в более удобном виде:
\( \frac{a^2}{8} — \frac{a}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{a^2}{4} — a + 1 \right)\)
4) Преобразуем квадратичное выражение:
Заметим, что выражение \( \frac{a^2}{4} — a + 1 \) можно привести к квадрату:
\( \frac{a^2}{4} — a + 1 = \left( \frac{a}{2} — 1 \right)^2\)
Следовательно, мы получаем:
\( \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{a}{2} — 1 \right)^2\)
5) Заключение:
Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, то:
\( \left( \frac{a}{2} — 1 \right)^2 \geq 0\)
Таким образом, выражение \( \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{a}{2} — 1 \right)^2 \) всегда неотрицательно для любых значений \( a \).
Ответ:
Значение выражения \( x + y + z \) всегда неотрицательно для любых значений \( a \).
Алгебра
