Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 842 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите тождество:
1) \( (4x^2 + 3)^2 + (7 — 4x^2)^2 — 2(4x^2 + 3)(4x^2 — 7) = 100 \);
2) \( (a^2 — 6ab + 9b^2)(a^2 + 6ab + 9b^2) — (a^2 — 9b^2)^2 = 0 \).
1) \((4a^2 + 3)^2 + (7 — 4a^2)^2 — 2(4a^2 + 3)(4a^2 — 7) = 100\)
\[
16a^4 + 24a^2 + 9 + 49 — 56a^2 + 16a^4 — 2(16a^4 — 28a^2 + \]
\[+12a^2 — 21) = 100
\]
\[
32a^4 — 32a^2 + 58 — 2(16a^4 — 16a^2 — 21) = 100
\]
\[
32a^4 — 32a^2 + 58 — 32a^4 + 32a^2 + 42 = 100
\]
\[
100 = 100 \quad \text{→ что и требовалось доказать.}
\]
2) \((a^2 — 6ab + 9b^2)(a^2 + 6ab + 9b^2) — (a^2 — 9b^2)^2 = 0\)
\[
(a — 3b)^2(a + 3b)^2 — (a^2 — 9b^2)^2 = 0
\]
\[
(a^2 — 9b^2)^2 = (a^2 — 9b^2)^2 = 0
\]
\[
0 = 0 \quad \text{→ что и требовалось доказать.}
\]
1) \( (4x^2 + 3)^2 + (7 — 4x^2)^2 — 2(4x^2 + 3)(4x^2 — 7) = 100 \)
Шаг 1: Раскроем скобки в каждом из выражений.
Первое выражение: \( (4x^2 + 3)^2 \)
Используем формулу квадрата суммы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), где \( a = 4x^2 \), а \( b = 3 \):
\[
(4x^2 + 3)^2 = (4x^2)^2 + 2(4x^2)(3) + 3^2 = 16x^4 + 24x^2 + 9
\]
Второе выражение: \( (7 — 4x^2)^2 \)
Используем формулу квадрата разности \( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \), где \( a = 7 \), а \( b = 4x^2 \):
\[
(7 — 4x^2)^2 = 7^2 — 2(7)(4x^2) + (4x^2)^2 = 49 — 56x^2 + 16x^4
\]
Третье выражение: \( -2(4x^2 + 3)(4x^2 — 7) \)
Раскроем скобки с использованием распределительного свойства:
\[
-2(4x^2 + 3)(4x^2 — 7) = -2[16x^4 — 28x^2 + 12x^2 — 21] = \]
\[=-2(16x^4 — 16x^2 — 21)
\]
Теперь умножим на -2:
\[
= -32x^4 + 32x^2 + 42
\]
Шаг 2: Подставим все выражения в исходное тождество и упростим.
\[
16x^4 + 24x^2 + 9 + 49 — 56x^2 + 16x^4 — 32x^4 + 32x^2 + 42 = 100
\]
Шаг 3: Сложим подобные члены.
Для \( x^4 \) получаем:
\[
16x^4 + 16x^4 — 32x^4 = 0
\]
Для \( x^2 \) получаем:
\[
24x^2 — 56x^2 + 32x^2 = 0
\]
Константы:
\[
9 + 49 + 42 = 100
\]
Шаг 4: Получаем окончательное выражение:
\[
0 + 0 + 100 = 100 \quad \text{→ что и требовалось доказать.}
\]
2) \( (a^2 — 6ab + 9b^2)(a^2 + 6ab + 9b^2) — (a^2 — 9b^2)^2 = 0 \)
Шаг 1: Рассмотрим оба выражения.
Первое произведение: \( (a^2 — 6ab + 9b^2)(a^2 + 6ab + 9b^2) \).
Это выражение является произведением двух концевых множителей разности квадратов. Применяем формулу \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \), где \( a = a^2 \) и \( b = 6ab — 9b^2 \):
\[
(a^2 — 6ab + 9b^2)(a^2 + 6ab + 9b^2) = (a^2 — 9b^2)^2
\]
Шаг 2: Подставим это в исходное тождество:
\[
(a^2 — 9b^2)^2 — (a^2 — 9b^2)^2 = 0
\]
Шаг 3: Видим, что два одинаковых выражения вычитаются, и результат равен нулю:
\[
0 = 0 \quad \text{→ что и требовалось доказать.}
\]
Алгебра
