Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 843 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что при любом нечётном значении \( n \) значение выражения \( (4n + 1)^2 — (n + 4)^2 \) кратно 120.
\[
\frac{(4n + 1)^2 — (n + 4)^2}{120} = \frac{16n^2 + 8n + 1 — n^2 — 8n — 16}{120} = \]
\[=\frac{15n^2 — 15}{120} = \frac{15(n^2 — 1)}{120} = \frac{15(n — 1)(n + 1)}{120},
\]
при \(n\) — нечётное число, выражения \((n — 1)(n + 1)\) — чётные, и значит одно из них будет делиться на 4, а \((n — 1)(n + 1)\) будет делиться на 8.
Следовательно, всё выражение \(15(n — 1)(n + 1)\) делится на 120, так как \(15 \cdot 8 = 120\).
Задача: Докажите, что при любом нечётном значении \( n \) значение выражения \( (4n + 1)^2 — (n + 4)^2 \) кратно 120.
Шаг 1: Раскроем скобки и упростим выражение.
Используем разность квадратов, которая выражается формулой \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \), где \( a = 4n + 1 \), а \( b = n + 4 \). Тогда:
\[
(4n + 1)^2 — (n + 4)^2 = [(4n + 1) — (n + 4)][(4n + 1) + (n + 4)]
\]
Шаг 2: Упростим выражение.
Вычитаем и складываем выражения в скобках:
\[
(4n + 1) — (n + 4) = 4n + 1 — n — 4 = 3n — 3
\]
\[
(4n + 1) + (n + 4) = 4n + 1 + n + 4 = 5n + 5
\]
Таким образом, выражение становится:
\[
(3n — 3)(5n + 5)
\]
Шаг 3: Упростим дальше.
Теперь раскроем скобки:
\[
(3n — 3)(5n + 5) = 3n(5n + 5) — 3(5n + 5)
\]
\[
= 15n^2 + 15n — 15n — 15 = 15n^2 — 15
\]
Таким образом, выражение упрощается до:
\[
(4n + 1)^2 — (n + 4)^2 = 15n^2 — 15
\]
Шаг 4: Разделим на 120.
Теперь разделим \( 15n^2 — 15 \) на 120:
\[
\frac{(4n + 1)^2 — (n + 4)^2}{120} = \frac{15n^2 — 15}{120}
\]
Вынесем общий множитель 15 за скобки:
\[
= \frac{15(n^2 — 1)}{120}
\]
Далее, заметим, что \( n^2 — 1 \) можно разложить как разность квадратов:
\[
n^2 — 1 = (n — 1)(n + 1)
\]
И тогда выражение принимает вид:
\[
= \frac{15(n — 1)(n + 1)}{120}
\]
Шаг 5: Проверим, что выражение делится на 120 при нечётном \( n \).
Теперь рассмотрим выражение \( (n — 1)(n + 1) \). Поскольку \( n \) — нечётное число, то \( (n — 1) \) и \( (n + 1) \) будут чётными числами, так как два последовательных нечётных числа всегда имеют чётные соседи.
Кроме того, одно из этих чисел будет делиться на 4, так как разница между ними равна 2.
Также одно из этих чисел обязательно будет делиться на 8, поскольку два последовательных чётных числа содержат кратное 8.
Шаг 6: Вывод.
Таким образом, выражение \( 15(n — 1)(n + 1) \) делится на 120, так как \( 15 \times 8 = 120 \). Следовательно, выражение \( (4n + 1)^2 — (n + 4)^2 \) всегда кратно 120 при любом нечётном значении \( n \).
Алгебра
