Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 941 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Графиком уравнения \((x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2\) является кривая, которую называют кардиоидой (рис. 48). Найдите координаты её точек пересечения с осями координат.
\[(x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2\]
При \(x = 0\):
\[
(0 + y^2 + y)^2 = 0 + y^2
\]
\[
(y^2 + y)^2 = y^2
\]
\[
y^4 + 2y^3 + y^2 — y^2 = 0
\]
\[
y^3(y + 2) = 0
\]
\[
y = 0, \, y = -2
\]
График пересекает ось \(y\) в координатах \((0; 0)\) и \((0; -2)\).
При \(y = 0\):
\[
(x^2 + 0 + 0)^2 = x^2 + 0
\]
\[
(x^2)^2 = x^2
\]
\[
x^4 — x^2 = 0
\]
\[
x^2(x^2 — 1) = 0
\]
\[x = 0. x = \pm 1\]
График пересекает ось \(x\) в координатах \((0; 0)\), \((-1; 0)\), \((1; 0)\).
Уравнение кардиоиды:
Уравнение: \((x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2\)
При \( x = 0 \):
Подставим \(x = 0\) в уравнение:
\[
(0^2 + y^2 + y)^2 = 0^2 + y^2
\]
\[
(y^2 + y)^2 = y^2
\]
Раскроем скобки:
\[
y^4 + 2y^3 + y^2 — y^2 = 0
\]
Упростим:
\[
y^3(y + 2) = 0
\]
Таким образом, у нас два решения:
\[
y = 0, \quad y = -2
\]
Следовательно, график пересекает ось \(y\) в точках с координатами \( (0; 0) \) и \( (0; -2) \).
При \( y = 0 \):
Теперь подставим \(y = 0\) в уравнение:
\[
(x^2 + 0 + 0)^2 = x^2 + 0
\]
\[
(x^2)^2 = x^2
\]
Упростим:
\[
x^4 — x^2 = 0
\]
Преобразуем:
\[
x^2(x^2 — 1) = 0
\]
Решения:
\[
x = 0, \quad x = \pm 1
\]
Следовательно, график пересекает ось \(x\) в точках с координатами \( (0; 0) \), \( (-1; 0) \), и \( (1; 0) \).
Итоговый ответ:
График кардиоиды пересекает оси координат в следующих точках:
- Точки пересечения с осью \(y\): \( (0; 0) \) и \( (0; -2) \).
- Точки пересечения с осью \(x\): \( (0; 0) \), \( (-1; 0) \) и \( (1; 0) \).
Алгебра
