ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 941 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Графиком уравнения \((x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2\) является кривая, которую называют кардиоидой (рис. 48). Найдите координаты её точек пересечения с осями координат.

\[(x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2\]

При \(x = 0\):

\[
(0 + y^2 + y)^2 = 0 + y^2
\]

\[
(y^2 + y)^2 = y^2
\]

\[
y^4 + 2y^3 + y^2 — y^2 = 0
\]

\[
y^3(y + 2) = 0
\]

\[
y = 0, \, y = -2
\]

График пересекает ось \(y\) в координатах \((0; 0)\) и \((0; -2)\).

При \(y = 0\):

\[
(x^2 + 0 + 0)^2 = x^2 + 0
\]

\[
(x^2)^2 = x^2
\]

\[
x^4 — x^2 = 0
\]

\[
x^2(x^2 — 1) = 0
\]

\[x = 0. x = \pm 1\]

График пересекает ось \(x\) в координатах \((0; 0)\), \((-1; 0)\), \((1; 0)\).

Уравнение кардиоиды:

Уравнение: \((x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2\)

При \( x = 0 \):

Подставим \(x = 0\) в уравнение:

\[
(0^2 + y^2 + y)^2 = 0^2 + y^2
\]

\[
(y^2 + y)^2 = y^2
\]

Раскроем скобки:

\[
y^4 + 2y^3 + y^2 — y^2 = 0
\]

Упростим:

\[
y^3(y + 2) = 0
\]

Таким образом, у нас два решения:

\[
y = 0, \quad y = -2
\]
Следовательно, график пересекает ось \(y\) в точках с координатами \( (0; 0) \) и \( (0; -2) \).

При \( y = 0 \):

Теперь подставим \(y = 0\) в уравнение:

\[
(x^2 + 0 + 0)^2 = x^2 + 0
\]

\[
(x^2)^2 = x^2
\]

Упростим:

\[
x^4 — x^2 = 0
\]

Преобразуем:

\[
x^2(x^2 — 1) = 0
\]

Решения:

\[
x = 0, \quad x = \pm 1
\]

Следовательно, график пересекает ось \(x\) в точках с координатами \( (0; 0) \), \( (-1; 0) \), и \( (1; 0) \).

Итоговый ответ:

График кардиоиды пересекает оси координат в следующих точках:

• Точки пересечения с осью \(y\): \( (0; 0) \) и \( (0; -2) \).
• Точки пересечения с осью \(x\): \( (0; 0) \), \( (-1; 0) \) и \( (1; 0) \).