Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 947 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Можно ли утверждать, что при любом натуральном чётном значении n значение выражения \((5n + 10)^2 — (2n + 4)^2\) делится нацело на 84?
\[(5n + 10)^2 — (2n + 4)^2 = 25n^2 + 100n + 100 — 4n^2 — 16n — 16 =\]
\[= 21n^2 + 84n + 84 = 21 \cdot (n^2 + 4n + 4) = 21 \cdot (n + 2)^2,\]
так как \(n\) — четное число, то \((n + 2)^2\) — делится на 4, значит, \(21 \cdot 4 = 84,\)
следовательно, \(21 \cdot (n + 2)^2\) — делится на 84.
Давайте рассмотрим выражение \((5n + 10)^2 — (2n + 4)^2\) и попробуем раскрыть его, а затем упростить.
Используем разность квадратов, так как у нас есть выражение вида \((a^2 — b^2)\). Разность квадратов раскладывается по формуле: \((a^2 — b^2) = (a — b)(a + b)\). Здесь \(a = 5n + 10\) и \(b = 2n + 4\). Таким образом, мы можем записать:
\[
(5n + 10)^2 — (2n + 4)^2 = (5n + 10 — (2n + 4)) \cdot (5n + 10 + (2n + 4))
\]
Упростим каждую из скобок:
\[
(5n + 10 — (2n + 4)) = 5n + 10 — 2n — 4 = 3n + 6
\]
\[
(5n + 10 + (2n + 4)) = 5n + 10 + 2n + 4 = 7n + 14
\]
Теперь подставим эти выражения в нашу формулу разности квадратов:
\[
(5n + 10)^2 — (2n + 4)^2 = (3n + 6)(7n + 14)
\]
Теперь раскроем скобки:
\[
= 3n(7n + 14) + 6(7n + 14)
\]
Умножаем каждое слагаемое:
\[
= 21n^2 + 42n + 42n + 84
\]
\[
= 21n^2 + 84n + 84
\]
Теперь выделим общий множитель:
\[
= 21(n^2 + 4n + 4)
\]
Посмотрим на выражение внутри скобок: \(n^2 + 4n + 4\). Мы видим, что это квадрат бинома, так как:
\[
n^2 + 4n + 4 = (n + 2)^2
\]
Таким образом, мы можем записать всё уравнение как:
\[
= 21 \cdot (n + 2)^2
\]
Теперь давайте проанализируем, что получается. Мы видим, что выражение делится на 21, а затем умножается на \((n + 2)^2\). Поскольку \(n\) — чётное число, то \((n + 2)\) также будет чётным, а значит, \((n + 2)^2\) будет делиться на 4 (поскольку квадрат чётного числа всегда делится на 4).
Таким образом, мы получаем, что:
\[
21 \cdot (n + 2)^2 = 21 \cdot 4 = 84
\]
Следовательно, выражение \(21 \cdot (n + 2)^2\) делится на 84 для любого чётного натурального числа \(n\).
Ответ: Да, при любом чётном натуральном значении \(n\) выражение \((5n + 10)^2 — (2n + 4)^2\) делится нацело на 84.
Алгебра
