ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1029 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите четыре последовательных нечётых натуральных числа, сумма квадратов которых равна 164.

Пусть даны четыре последовательных нечетных натуральных числа:
\( 2n — 3 \); \( 2n — 1 \); \( 2n + 1 \); \( 2n + 3 \).

Тогда:

\[
(2n — 3)^2 + (2n — 1)^2 + (2n + 1)^2 + (2n + 3)^2 = 164
\]

\[
4n^2 — 12n + 9 + 4n^2 — 4n + 1 + 4n^2 + 4n + 1 + 4n^2 + 12n + 9 = 164
\]

\[
16n^2 + 20 = 164
\]

\[
16n^2 = 164 — 20
\]

\[
16n^2 = 144
\]

\[
n^2 = 9
\]

\[
n = 3.
\]

Значит, четыре последовательных нечетных натуральных числа равны:

\[
2n — 3 = 2 \cdot 3 — 3 = 6 — 3 = 3;
\]

\[
2n — 1 = 2 \cdot 3 — 1 = 6 — 1 = 5;
\]

\[
2n + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7;
\]

\[
2n + 3 = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9.
\]

Ответ: \( 3; 5; 7; 9 \).

1. Обозначим четыре последовательных нечётных числа через:

\( 2n — 3 \), \( 2n — 1 \), \( 2n + 1 \), \( 2n + 3 \), где \(n\) — некоторый целый параметр, который будет использоваться для представления последовательности нечётных чисел.

2. Составим уравнение для суммы квадратов этих четырёх чисел, при этом известно, что сумма квадратов равна 164:

\[
(2n — 3)^2 + (2n — 1)^2 + (2n + 1)^2 + (2n + 3)^2 = 164
\]

3. Раскроем и упростим каждый квадрат по отдельности:

\[
(2n — 3)^2 = 4n^2 — 12n + 9
\]

\[
(2n — 1)^2 = 4n^2 — 4n + 1
\]

\[
(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1
\]

\[
(2n + 3)^2 = 4n^2 + 12n + 9
\]

4. Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

\[
(4n^2 — 12n + 9) + (4n^2 — 4n + 1) + (4n^2 + 4n + 1) +\]

\[+(4n^2 + 12n + 9) = 164
\]

5. Объединим подобные члены:

\[
4n^2 + 4n^2 + 4n^2 + 4n^2 = 16n^2
\]

\[
-12n — 4n + 4n + 12n = 0
\]

\[
9 + 1 + 1 + 9 = 20
\]

6. Получаем следующее уравнение:

\[
16n^2 + 20 = 164
\]

7. Вычитаем 20 с обеих сторон уравнения:

\[
16n^2 = 164 — 20
\]

\[
16n^2 = 144
\]

8. Делим обе части уравнения на 16:

\[
n^2 = \frac{144}{16} = 9
\]

9. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[
n = \pm 3
\]

10. Так как \(n\) — это параметр для натуральных чисел, то \(n\) должно быть положительным. Следовательно, \(n = 3\).

11. Теперь подставляем найденное значение \(n = 3\) в выражения для четырёх последовательных нечётных чисел:

\[
2n — 3 = 2 \cdot 3 — 3 = 6 — 3 = 3
\]

\[
2n — 1 = 2 \cdot 3 — 1 = 6 — 1 = 5
\]

\[
2n + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7
\]

\[
2n + 3 = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9
\]

Таким образом, четыре последовательных нечётных числа: \(3\), \(5\), \(7\), \(9\).

Ответ: Четыре последовательных нечётных числа: \(3\), \(5\), \(7\), \(9\).