Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1031 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Остаток при делении числа \( a \) на 5 равен 3, а остаток при делении числа \( b \) на 5 равен 2. Докажите, что значение выражения \( a^2 + b^2 \) кратно 5.
Так как \( a = 5m + 4 \) и \( b = 5n + 3 \), то:
\[
a^2 + b^2 = (5m + 4)^2 + (5n + 3)^2 = 25m^2 + 40m + 16 +\]
\[+ 25n^2 + 30n + 9 = 25m^2 + 25n^2 + 40m + 30n + 25 =\]
\[
= 5(5m^2 + 5n^2 + 8m + \]
\[+6n + 5) \quad \text{— кратно } 5, \text{ так как множитель } 5 \text{ делится на } 5.
\]
1. По условию задачи известно, что остаток при делении числа \(a\) на 5 равен 3. Это можно записать так:
\[
a = 5m + 3
\]
где \(m\) — некоторое целое число, а \(5m\) — это число, которое делится на 5, а \(3\) — остаток при делении. Таким образом, \(a\) всегда можно представить в виде \(5m + 3\).
2. Также, остаток при делении числа \(b\) на 5 равен 2. Это можно записать так:
\[
b = 5n + 2
\]
где \(n\) — целое число, а \(5n\) — это число, которое делится на 5, а \(2\) — остаток при делении. Таким образом, \(b\) всегда можно представить в виде \(5n + 2\).
3. Теперь давайте составим выражение для \(a^2 + b^2\), где \(a = 5m + 3\) и \(b = 5n + 2\):
\[
a^2 + b^2 = (5m + 3)^2 + (5n + 2)^2
\]
4. Раскроем квадраты обоих выражений:
\[
a^2 + b^2 = (5m + 3)^2 + (5n + 2)^2
\]
Для первого квадрата \( (5m + 3)^2 \) получаем:
\[
(5m + 3)^2 = 25m^2 + 30m + 9
\]
Для второго квадрата \( (5n + 2)^2 \) получаем:
\[
(5n + 2)^2 = 25n^2 + 20n + 4
\]
5. Теперь подставим оба выражения в исходное уравнение:
\[
a^2 + b^2 = (25m^2 + 30m + 9) + (25n^2 + 20n + 4)
\]
6. Объединяем подобные члены:
\[
a^2 + b^2 = 25m^2 + 25n^2 + 30m + 20n + 9 + 4
\]
7. Упростим выражение, объединяя константы:
\[
a^2 + b^2 = 25m^2 + 25n^2 + 30m + 20n + 13
\]
8. Обратите внимание, что все слагаемые, кроме числа 13, имеют множитель 5. Мы можем вынести 5 за скобки:
\[
a^2 + b^2 = 5(5m^2 + 5n^2 + 6m + 4n + 5) + 13
\]
9. Теперь рассмотрим остаток 13. Поскольку 13 при делении на 5 даёт остаток 3, можно записать, что:
\[
a^2 + b^2 = 5 \cdot \text{(что-то)} + 13
\]
10. Таким образом, выражение \(a^2 + b^2\) состоит из суммы числа, которое делится на 5, и остатка 13, который при делении на 5 даёт остаток 3. Это можно записать так:
\[
a^2 + b^2 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 5)
\]
Ответ: Мы доказали, что выражение \( a^2 + b^2 \) кратно 5.
Алгебра
