ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1031 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Остаток при делении числа \( a \) на 5 равен 3, а остаток при делении числа \( b \) на 5 равен 2. Докажите, что значение выражения \( a^2 + b^2 \) кратно 5.

Так как \( a = 5m + 4 \) и \( b = 5n + 3 \), то:

\[
a^2 + b^2 = (5m + 4)^2 + (5n + 3)^2 = 25m^2 + 40m + 16 +\]

\[+ 25n^2 + 30n + 9 = 25m^2 + 25n^2 + 40m + 30n + 25 =\]

\[
= 5(5m^2 + 5n^2 + 8m + \]

\[+6n + 5) \quad \text{— кратно } 5, \text{ так как множитель } 5 \text{ делится на } 5.
\]

1. По условию задачи известно, что остаток при делении числа \(a\) на 5 равен 3. Это можно записать так:

\[
a = 5m + 3
\]

где \(m\) — некоторое целое число, а \(5m\) — это число, которое делится на 5, а \(3\) — остаток при делении. Таким образом, \(a\) всегда можно представить в виде \(5m + 3\).

2. Также, остаток при делении числа \(b\) на 5 равен 2. Это можно записать так:

\[
b = 5n + 2
\]

где \(n\) — целое число, а \(5n\) — это число, которое делится на 5, а \(2\) — остаток при делении. Таким образом, \(b\) всегда можно представить в виде \(5n + 2\).

3. Теперь давайте составим выражение для \(a^2 + b^2\), где \(a = 5m + 3\) и \(b = 5n + 2\):

\[
a^2 + b^2 = (5m + 3)^2 + (5n + 2)^2
\]

4. Раскроем квадраты обоих выражений:

\[
a^2 + b^2 = (5m + 3)^2 + (5n + 2)^2
\]

Для первого квадрата \( (5m + 3)^2 \) получаем:

\[
(5m + 3)^2 = 25m^2 + 30m + 9
\]

Для второго квадрата \( (5n + 2)^2 \) получаем:

\[
(5n + 2)^2 = 25n^2 + 20n + 4
\]

5. Теперь подставим оба выражения в исходное уравнение:

\[
a^2 + b^2 = (25m^2 + 30m + 9) + (25n^2 + 20n + 4)
\]

6. Объединяем подобные члены:

\[
a^2 + b^2 = 25m^2 + 25n^2 + 30m + 20n + 9 + 4
\]

7. Упростим выражение, объединяя константы:

\[
a^2 + b^2 = 25m^2 + 25n^2 + 30m + 20n + 13
\]

8. Обратите внимание, что все слагаемые, кроме числа 13, имеют множитель 5. Мы можем вынести 5 за скобки:

\[
a^2 + b^2 = 5(5m^2 + 5n^2 + 6m + 4n + 5) + 13
\]

9. Теперь рассмотрим остаток 13. Поскольку 13 при делении на 5 даёт остаток 3, можно записать, что:

\[
a^2 + b^2 = 5 \cdot \text{(что-то)} + 13
\]

10. Таким образом, выражение \(a^2 + b^2\) состоит из суммы числа, которое делится на 5, и остатка 13, который при делении на 5 даёт остаток 3. Это можно записать так:

\[
a^2 + b^2 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 5)
\]

Ответ: Мы доказали, что выражение \( a^2 + b^2 \) кратно 5.