ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1038 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите решение системы уравнений:

1) \( \begin{cases} 6 — 5(x — y) = 7x + 4y, \\ 3(x + 1) — (6x + 8y) = 69 + 3y; \end{cases} \)

2) \( \begin{cases} \frac{x}{2} — \frac{y}{3} = 2, \\ 5x — y = 34; \end{cases} \)

3) \( \begin{cases} \frac{x — 1}{2} + \frac{3y — x}{4} = -4\frac{3}{4}; \end{cases} \)

4) \( \begin{cases} \frac{1.5x — 3}{3} + \frac{7 — 3y}{8} = 3, \\ \frac{2.5x — 2}{3} — \frac{2y + 1}{6} = x — 0.5. \end{cases} \)

1)

\[
\begin{cases}
6 — 5(x — y) = 7x + 4y \\
3(x + 1) — (6x + 8y) = 69 + 3y
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
6 — 5x + 5y = 7x + 4y \\
3x + 3 — 6x — 8y = 69 + 3y
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
-5x + 5y — 7x — 4y = -6 \\
-3x — 8y — 3y — 69 = -3
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
-12x + y = -6 \\
-3x — 11y = 66
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
y = 12x — 6 \\
-3x — 11(12x — 6) = 66
\end{cases}
\]

\[
-3x — 132x + 66 = 66
\]

\[
-135x = 0
\]

\[
x = 0.
\]

\[
y = 12x — 6 = 12 \cdot 0 — 6 = -6.
\]

Ответ: \((0; -6)\).

2)

\[
\begin{cases}
\frac{x — y}{3} = 2 \\
\frac{5x — y}{2} = 34
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x — y = 6 \\
5x — y = 68
\end{cases}
\]

\[
y = 12x — 6
\]

\[
3x — 2(5x — 34) = 12
\]

\[
3x — 10x + 68 = 12
\]

\[
-7x = -56
\]

\[
x = 8.
\]

\[
y = 5x — 34 = 5 \cdot 8 — 34 = 40 — 34 = 6.
\]

Ответ: \((8; 6)\).

3)

\[
\begin{cases}
6y — 5x = 1 \\
\frac{x — 1}{2} + \frac{3y — x}{4} = -4 \frac{3}{4}
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
6y — 5x = 1 \\
2(x — 1) + 3y — x = -19
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
6y — 5x = 1 \\
x + 3y = -17
\end{cases}
\]

\[
x = -17 — 3y
\]

\[
6y — 5(-17 — 3y) = 1
\]

\[
6y + 85 + 15y = 1
\]

\[
21y = -84
\]

\[
y = -4.
\]

\[
x = -17 — 3y = -17 — 3(-4) = -17 + 12 = -5.
\]

Ответ: \((-5; -4)\).

4)

\[
\begin{cases}
\frac{1.5x — 3}{3} + \frac{7 — 3y}{8} = 3 \\
\frac{2.5x — 2}{3} — \frac{2y + 1}{6} = x — 0.5
\end{cases}
\]

\[
\text{(Умножаем на 24 и 6 соответственно для упрощения:)}
\]

\[
\begin{cases}
8(1.5x — 3) + 3(7 — 3y) = 72 \\
2(2.5x — 2) — (2y + 1) = 6(x — 0.5)
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
12x — 24 + 21 — 9y = 72 \\
5x — 4 — 2y — 1 = 6x — 3
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
12x — 9y = 75 \\
6x — 5x + 2y = -5 + 3
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
12x — 9y = 75 \\
x + 2y = -2
\end{cases}
\]

\[
x = -2 — 2y
\]

\[
4(-2 — 2y) — 3y = 25
\]

\[
-8 — 8y — 3y = 25
\]

\[
-11y = 33
\]

\[
y = -3.
\]

\[
x = -2 — 2y = -2 — 2(-3) = -2 + 6 = 4.
\]

Ответ: \((4; -3)\).

1)

$$\begin{cases} 6 — 5(x — y) = 7x + 4y \quad \text{(1)}\\ 3(x + 1) — (6x + 8y) = 69 + 3y \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Раскрываем скобки в обоих уравнениях:

Уравнение (1):

$$6 — 5(x — y) = 7x + 4y \Rightarrow 6 — 5x + 5y = 7x + 4y$$

Переносим всё в одну сторону:

$$6 — 5x + 5y — 7x — 4y = 0 \Rightarrow -12x + y + 6 = 0 \Rightarrow 12x — y = 6 \quad \text{(3)}$$

Уравнение (2):

$$3(x + 1) — (6x + 8y) = 69 + 3y \Rightarrow 3x + 3 — 6x — 8y = 69 + 3y$$

Приводим подобные:

$$-3x — 8y + 3 = 69 + 3y \Rightarrow -3x — 11y = 66 \quad \text{(4)}$$

Теперь решим систему:

$$\begin{cases} 12x — y = 6 \quad \text{(3)} \\ -3x — 11y = 66 \quad \text{(4)} \end{cases}$$

Выразим $y$ из (3):

$$y = 12x — 6$$

Подставим во второе уравнение:

$$-3x — 11(12x — 6) = 66 \Rightarrow -3x — 132x + 66 = 66 \Rightarrow -135x = 0 \Rightarrow x = 0$$

Найдём $y$:

$$y = 12x — 6 = 0 — 6 = -6$$

Ответ: $(0; -6)$

2)

$$\begin{cases} \frac{x}{2} — \frac{y}{3} = 2 \quad \text{(1)}\\ 5x — y = 34 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Умножим (1) на 6 — чтобы избавиться от знаменателей:

$$6 \cdot \left( \frac{x}{2} — \frac{y}{3} \right) = 6 \cdot 2 \Rightarrow 3x — 2y = 12 \quad \text{(3)}$$

Из (2):

$$y = 5x — 34 \quad \text{(4)}$$

Подставим (4) в (3):

$$3x — 2(5x — 34) = 12 \Rightarrow 3x — 10x + 68 = 12 \Rightarrow -7x = -56 \Rightarrow x = 8$$

Теперь найдём $y$:

$$y = 5x — 34 = 5 \cdot 8 — 34 = 40 — 34 = 6$$

Ответ: $(8; 6)$

3)

$$\begin{cases} 6y — 5x = 1 \quad \text{(1)}\\ \frac{x — 1}{2} + \frac{3y — x}{4} = -4\frac{3}{4} \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Преобразуем уравнение (2):
Сначала переведём правую часть в неправильную дробь:

$$-4\frac{3}{4} = -\frac{19}{4}$$

Умножим всё уравнение на 4:

$$4 \cdot \left( \frac{x — 1}{2} + \frac{3y — x}{4} \right) = 4 \cdot \left( -\frac{19}{4} \right) \Rightarrow 2(x — 1) + (3y — x) = -19$$

Раскрываем скобки:

$$2x — 2 + 3y — x = -19 \Rightarrow x + 3y = -17 \quad \text{(3)}$$

Из (3):

$$x = -17 — 3y \quad \text{(4)}$$

Подставим в (1):

$$6y — 5(-17 — 3y) = 1 \Rightarrow 6y + 85 + 15y = 1 \Rightarrow 21y = -84 \Rightarrow y = -4$$

Теперь $x$:

$$x = -17 — 3y = -17 — 3(-4) = -17 + 12 = -5$$

Ответ: $(-5; -4)$

4)

$$\begin{cases} \frac{1.5x — 3}{3} + \frac{7 — 3y}{8} = 3 \quad \text{(1)}\\ \frac{2.5x — 2}{3} — \frac{2y + 1}{6} = x — 0.5 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Умножим:

• (1) на 24 (наименьшее общее кратное 3 и 8)
• (2) на 6 (наименьшее общее кратное 3 и 6)

Уравнение (1):

$$24\cdot (\frac{1.5x-3}{3}+\frac{7-3y}{8})=24\cdot 3\Rightarrow 8(1.5x-3)+3(7-3y)=72\Rightarrow$$

$$24 \cdot \left( \frac{1.5x — 3}{3} + \frac{7 — 3y}{8} \right) = 24 \cdot 3 \Rightarrow 8(1.5x — 3) + 3(7 — 3y) = 72 \Rightarrow 12x — 24 + 21 — 9y = 72 \Rightarrow 12x — 9y = 75 \quad \text{(3)}$$

Уравнение (2):

$$6\cdot (\frac{2.5x-2}{3}-\frac{2y+1}{6})=6(x-0.5)\Rightarrow 2(2.5x-2)-(2y+1)=6x-3\Rightarrow$$

$$6 \cdot \left( \frac{2.5x — 2}{3} — \frac{2y + 1}{6} \right) = 6(x — 0.5) \Rightarrow 2(2.5x — 2) — (2y + 1) = 6x — 3 \Rightarrow 5x — 4 — 2y — 1 = 6x — 3 \Rightarrow 5x — 2y — 5 = 6x — 3 \Rightarrow -x + 2y = 2 \Rightarrow x + 2y = -2 \quad \text{(4)}$$

Из (4):

$$x = -2 — 2y$$

Подставим в (3):

$$12(-2 — 2y) — 9y = 75 \Rightarrow -24 — 24y — 9y = 75 \Rightarrow -33y = 99 \Rightarrow y = -3$$

Теперь найдём $x$:

$$x = -2 — 2(-3) = -2 + 6 = 4$$

Ответ: $(4; -3)$

ИТОГОВЫЕ ОТВЕТЫ:

1. $(0; -6)$
2. $(8; 6)$
3. $(-5; -4)$
4. $(4; -3)$