Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1043 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения \( 2^{4n} — 1 \) делится нацело на 5 при любом натуральном значении \( n \).
\[
\frac{2^{4n} — 1}{5} = \frac{(2^4)^n — 1}{5} = \frac{16^n — 1}{5};
\]
\( 16^n \) оканчивается цифрой \( 6 \), и при вычитании из \( 6 \) числа \( 1 \), будет число \( 5 \). То есть выражение \( 16^n — 1 \) оканчивается цифрой \( 5 \), следовательно, оно делится нацело на \( 5 \) при любом натуральном значении \( n \).
Рассмотрим выражение \( 2^{4n} — 1 \). Мы можем его записать как:
\[
2^{4n} — 1 = (2^4)^n — 1 = 16^n — 1
\]
Теперь нам нужно доказать, что выражение \( 16^n — 1 \) делится на 5 для любого натурального \( n \). Рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как ведет себя выражение для различных значений \( n \).
Пример 1: Пусть \( n = 1 \), тогда:
\[
16^1 — 1 = 16 — 1 = 15
\]
15 делится на 5, так что для \( n = 1 \) выражение делится на 5.
Пример 2: Пусть \( n = 2 \), тогда:
\[
16^2 — 1 = 256 — 1 = 255
\]
255 делится на 5, так что для \( n = 2 \) выражение делится на 5.
Общий случай: Теперь давайте рассмотрим свойство числа 16, которое можно выразить через его последние цифры.
Число \( 16^n \) при любом \( n \) оканчивается цифрой 6. Это можно доказать, заметив, что:
- 16^1 = 16, оканчивается на 6;
- 16^2 = 256, оканчивается на 6;
- 16^3 = 4096, оканчивается на 6;
- и так далее для всех \( n \).
Теперь, если мы вычитаем 1 из числа, оканчивающегося на 6, то получаем число, оканчивающееся на 5. Таким образом, выражение \( 16^n — 1 \) всегда оканчивается цифрой 5, что означает, что оно делится на 5.
Заключение: Мы доказали, что для любого натурального \( n \) выражение \( 16^n — 1 \) делится на 5, так как оно оканчивается на 5. Следовательно, \( 2^{4n} — 1 \) делится на 5 для любого натурального значения \( n \).
Ответ: \( 2^{4n} — 1 \) делится на 5 при любом натуральном значении \( n \).
Алгебра
