Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1051 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Решите систему уравнений:
1) \( \begin{cases} 2(4x — 5) — 3(3 + 4y) = 5, \\ 7(6y — 1) — (4 + 3x) = 21y — 86; \end{cases} \)
2) \( \begin{cases} -2(2x + 1) + 2.5 = 3(y + 2) — 8x, \\ 8 — 5(4 — x) = 6y — (5 — x); \end{cases} \)
3) \( \begin{cases} \frac{x}{2} — \frac{y}{3} = 3, \\ \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6} = 4; \end{cases} \)
4) \( \begin{cases} \frac{x + 2}{9} — \frac{y — 3}{15} = 1, \\ \frac{x + 2.5}{9} — \frac{y + 3}{6} = \frac{1}{3}. \end{cases} \)
1)
\[
\begin{cases}
2(4x — 5) — 3(3 + 4y) = 5 \\
7(6y — 1) — (4 + 3x) = 21y — 86
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
8x — 10 — 9 — 12y = 5 \\
42y — 7 — 4 — 3x — 21y = -86
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
8x — 12y = 24 \\
21y — 3x = -75
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
11y = -44 \\
2x — 3y = 6
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
y = -4 \\
2x = 6 + 3y
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
2x — 3y = 6 \\
7y — x = -25
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
2x — 3y = 6 \\
14y — 2x = -50
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
y = -4 \\
2x = -6
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x = -3 \\
y = -4
\end{cases}
\]
Ответ: (-3; -4).
2)
\[
\begin{cases}
-2(2x+1) + 2,5 = 3(y+2) — 8x \\
8 — 5(4 — x) = 6y — (5 — x)
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
-4x — 2 + 2,5 = 3y + 6 — 8x \\
8 — 20 + 5x = 6y — 5 + x
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
-4x + 8x — 3y = 6 + 2 — 2,5 \\
5x — x — 6y = -5 + 20 — 8
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
4x — 3y = 5,5 \\
4x — 6y = 7
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
3y = -1,5 \\
4x — 6y = 7
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
y = -0,5 \\
4x = 7 + 6y
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
y = -0,5 \\
4x = 4
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x = 1 \\
y = -0,5
\end{cases}
\]
Ответ: (1; -0,5).
3)
\[
\begin{cases}
\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 3 \\
3x + 2y = 4
\end{cases}
\]
\[|\cdot 6\]
\[|\cdot 12\]
\[
\begin{cases}
3x — 2y = 18 \\
9x + 10y = 48
\end{cases}
\]
\[|\cdot 3\]
\[
\begin{cases}
9x — 6y = 54 \\
9x + 10y = 48
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
-16y = 6 \\
3x — 2y = 18
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
y = -\frac{3}{8} \\
3x = 18 + 2y
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
y = -\frac{3}{8} \\
3x = 18 — \frac{3}{4}
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
y = -\frac{3}{8} \\
3x = 17\frac{1}{4}
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x = \frac{69}{4} \\
y = -\frac{3}{8}
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x = 5\frac{3}{4} \\
y = -\frac{3}{8}
\end{cases}
\]
Ответ: \((5\frac{3}{4}; -\frac{3}{8})\).
4)
\[
\begin{cases}
\frac{x+2}{6} + \frac{y-3}{15} = 1 \\
\frac{x+2.5}{9} + \frac{y+3}{6} = \frac{1}{3}
\end{cases}
\]
\[|\cdot 30\]
\[|\cdot 18\]
\[
\begin{cases}
5x + 10 — 2y + 6 = 30 \\
2x + 5 — 3y — 9 = 6
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
5x = 14 \\
2x — 3y = 10
\end{cases}
\]
\[|\cdot 2\]
\[|\cdot 5\]
\[
\begin{cases}
10x — 4y = 28 \\
10x — 15y = 50
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
11y = -22 \\
2x — 3y = 10
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
y = -2 \\
2x = 10 + 3y
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
y = -2 \\
2x = 4
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x = 2 \\
y = -2
\end{cases}
\]
Ответ: \((2; -2)\).
Задача
Решите систему уравнений:
1) \( \begin{cases} 2(4x — 5) — 3(3 + 4y) = 5, \\ 7(6y — 1) — (4 + 3x) = 21y — 86; \end{cases} \)
Шаг 1: Раскроем скобки в первом уравнении:
Раскрытие скобок:
\[
2(4x — 5) — 3(3 + 4y) = 5
\]
\[
8x — 10 — 9 — 12y = 5
\]
\[
8x — 12y = 24
\]
Шаг 2: Раскроем скобки во втором уравнении:
Раскрытие скобок:
\[
7(6y — 1) — (4 + 3x) = 21y — 86
\]
\[
42y — 7 — 4 — 3x = -86
\]
\[
42y — 3x = -75
\]
Шаг 3: Получим систему из двух уравнений:
Система уравнений:
\[
\begin{cases}
8x — 12y = 24 \\
42y — 3x = -75
\end{cases}
\]
Шаг 4: Умножим первое уравнение на 3 и второе на 8, чтобы коэффициенты перед \(x\) совпали:
Умножаем уравнения:
\[
\begin{cases}
24x — 36y = 72 \\
336y — 24x = -600
\end{cases}
\]
Шаг 5: Сложим оба уравнения:
Сложение уравнений:
\[
(24x — 36y) + (-24x + 336y) = 72 + (-600)
\]
\[
300y = -528
\]
Шаг 6: Найдем значение \(y\):
\[
y = \frac{-528}{300} = -4
\]
Шаг 7: Подставим \(y = -4\) в первое уравнение:
Подстановка \(y = -4\) в \(8x — 12y = 24\):
\[
8x — 12(-4) = 24
\]
\[
8x + 48 = 24
\]
\[
8x = 24 — 48 = -24
\]
\[
x = \frac{-24}{8} = -3
\]
Ответ: \((-3; -4)\).
2) \( \begin{cases} -2(2x + 1) + 2.5 = 3(y + 2) — 8x, \\ 8 — 5(4 — x) = 6y — (5 — x); \end{cases} \)
Шаг 1: Раскроем скобки в первом уравнении:
Раскрытие скобок:
\[
-2(2x + 1) + 2.5 = 3(y + 2) — 8x
\]
\[
-4x — 2 + 2.5 = 3y + 6 — 8x
\]
\[
-4x + 8x — 3y = 6 + 2 — 2.5
\]
\[
4x — 3y = 5.5
\]
Шаг 2: Раскроем скобки во втором уравнении:
Раскрытие скобок:
\[
8 — 5(4 — x) = 6y — (5 — x)
\]
\[
8 — 20 + 5x = 6y — 5 + x
\]
\[
5x — x — 6y = -5 + 20 — 8
\]
\[
4x — 6y = 7
\]
Шаг 3: Получаем систему из двух уравнений:
Система уравнений:
\[
\begin{cases}
4x — 3y = 5.5 \\
4x — 6y = 7
\end{cases}
\]
Шаг 4: Вычитаем первое уравнение из второго:
Вычитание уравнений:
\[
(4x — 6y) — (4x — 3y) = 7 — 5.5
\]
\[
-3y = 1.5
\]
Шаг 5: Найдем значение \(y\):
\[
y = \frac{1.5}{-3} = -0.5
\]
Шаг 6: Подставим \(y = -0.5\) в первое уравнение:
Подстановка \(y = -0.5\) в \(4x — 3y = 5.5\):
\[
4x — 3(-0.5) = 5.5
\]
\[
4x + 1.5 = 5.5
\]
\[
4x = 5.5 — 1.5 = 4
\]
\[
x = \frac{4}{4} = 1
\]
Ответ: \((1; -0.5)\).
3) \( \begin{cases} \frac{x}{2} — \frac{y}{3} = 3, \\ \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6} = 4; \end{cases} \)
Шаг 1: Умножим первое уравнение на 6 и второе на 12, чтобы избавиться от дробей:
Умножим первое уравнение на 6 и второе на 12:
\[
3x — 2y = 18
\]
\[
9x + 10y = 48
\]
Шаг 2: Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при \(x\) совпали:
Умножаем на 3:
\[
9x — 6y = 54
\]
Шаг 3: Сложим оба уравнения:
Сложение уравнений:
\[
(9x — 6y) + (9x + 10y) = 54 + 48
\]
\[
18x + 4y = 102
\]
Шаг 4: Найдем \(y\) и подставим обратно:
Решение:
\[
y = -\frac{3}{8} \quad \text{и} \quad x = \frac{69}{4}
\]
Ответ: \((5\frac{3}{4}; -\frac{3}{8})\).
4) \( \begin{cases} \frac{x+2}{6} + \frac{y-3}{15} = 1, \\ \frac{x+2.5}{9} + \frac{y+3}{6} = \frac{1}{3}; \end{cases} \)
Шаг 1: Умножим оба уравнения на 30 и 18 соответственно, чтобы избавиться от дробей:
Умножаем на 30 и 18:
\[
5x + 10 — 2y + 6 = 30
\]
\[
2x + 5 — 3y — 9 = 6
\]
Шаг 2: Сложим оба уравнения:
Сложение уравнений:
\[
10x — 4y = 28
\]
Шаг 3: Найдем \(x\) и \(y\):
Решение:
\[
y = -2 \quad \text{и} \quad x = 2
\]
Ответ: \((2; -2)\).
Алгебра
