ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1053 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите решение системы уравнений:

1) \( \begin{cases} (x — 3)^2 — 4y = (x + 2)(x + 1) — 6, \\ (x — 4)(y + 6) = (x + 3)(y — 7) + 3; \end{cases} \)

2) \( \begin{cases} (x — y)(x + y) — x(x + 10) = y(5 — y) + 15, \\ (x + 1)^2 + (y — 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 — 18. \end{cases} \)

1)

\[
\begin{cases}
(x — 3)^2 — 4y = (x + 2)(x + 1) — 6 \\
(x — 4)(y + 6) = (x + 3)(y — 7) + 3
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x^2 — 6x + 9 — 4y = x^2 + x + 2x + 2 — 6 \\
xy + 6x — 4y — 24 = xy — 7x + 3y — 21 + 3
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
-6x — 4y — 3x = -4 — 9 \\
6x — 4y + 7x — 3y = -18 + 24
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
-9x — 4y = -13 \quad | \cdot (-7) \\
13x — 7y = 6 \quad | \cdot 4
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
63x + 28y = 91 \\
52x — 28y = 24
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
115x = 115 \\
13x — 7y = 6
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x = 1 \\
7y = 13x — 6
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x = 1 \\
7y = 7
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x = 1 \\
y = 1
\end{cases}
\]

Ответ: \((1; 1)\).

2)

\[
\begin{cases}
(x — y)(x + y) — x(x + 10) = y(5 — y) + 15 \\
(x + 1)^2 + (y — 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 — 18
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x^2 + xy — xy — y^2 — x^2 — 10x = 5y — y^2 + 15 \\
x^2 + 2x + 1 + y^2 — 2y + 1 = x^2 + 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 — 18
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
-10x + 5y = 15 \\
2x + y = -3
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
2x — 2y \\
8x — 4y = 2 — 2
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
2x + y = -3 \\
-6x — 6y = 0
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
2x + y = -3 \\
x = -3
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x = -3 \\
x + y = 0
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x = -3 \\
y = -x
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x = -3 \\
y = 3
\end{cases}
\]

Ответ: \((-3; 3)\).

Задача

Решите систему уравнений:

1) \( \begin{cases} (x — 3)^2 — 4y = (x + 2)(x + 1) — 6, \\ (x — 4)(y + 6) = (x + 3)(y — 7) + 3; \end{cases} \)

Шаг 1: Раскроем скобки в обоих уравнениях.

Первое уравнение:

\[
(x — 3)^2 — 4y = (x + 2)(x + 1) — 6
\]

Раскроем квадрат в левой части:

\[
(x — 3)^2 = x^2 — 6x + 9
\]

Теперь правую часть:

\[
(x + 2)(x + 1) = x^2 + 3x + 2
\]

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

\[
x^2 — 6x + 9 — 4y = x^2 + 3x + 2 — 6
\]

Упростим уравнение:

\[
x^2 — 6x + 9 — 4y = x^2 + 3x — 4
\]

Вычитаем \(x^2\) с обеих сторон:

\[
-6x + 9 — 4y = 3x — 4
\]

Переносим все элементы с \(x\) и \(y\) на одну сторону:

\[
-6x — 3x — 4y = -4 — 9
\]

\[
-9x — 4y = -13
\]

Теперь второе уравнение:

\[
(x — 4)(y + 6) = (x + 3)(y — 7) + 3
\]

Раскроем скобки в обеих частях:

\[
(x — 4)(y + 6) = xy + 6x — 4y — 24
\]

\[
(x + 3)(y — 7) = xy — 7x + 3y — 21
\]

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

\[
xy + 6x — 4y — 24 = xy — 7x + 3y — 21 + 3
\]

Упрощаем правую часть:

\[
xy + 6x — 4y — 24 = xy — 7x + 3y — 18
\]

Вычитаем \(xy\) с обеих сторон:

\[
6x — 4y — 24 = -7x + 3y — 18
\]

Переносим все элементы с \(x\) и \(y\) на одну сторону:

\[
6x + 7x — 4y — 3y = -18 + 24
\]

\[
13x — 7y = 6
\]

Шаг 2: Получаем систему из двух уравнений:

Система уравнений:

\[
\begin{cases}
-9x — 4y = -13 \\
13x — 7y = 6
\end{cases}
\]

Шаг 3: Умножим первое уравнение на 13, а второе на 9, чтобы коэффициенты при \(x\) стали одинаковыми:

Умножаем первое уравнение на 13:

\[
13(-9x — 4y) = 13(-13)
\]

\[
-117x — 52y = -169
\]

Умножаем второе уравнение на 9:

\[
9(13x — 7y) = 9(6)
\]

\[
117x — 63y = 54
\]

Шаг 4: Сложим оба уравнения:

Сложение уравнений:

\[
(-117x — 52y) + (117x — 63y) = -169 + 54
\]

\[
-117x + 117x — 52y — 63y = -169 + 54
\]

\[
-115y = -115
\]

Шаг 5: Решаем для \(y\):

\[
y = \frac{-115}{-115} = 1
\]

Шаг 6: Подставим \(y = 1\) в одно из уравнений (например, \(-9x — 4y = -13\)):

Подстановка \(y = 1\) в \(-9x — 4y = -13\):

\[
-9x — 4(1) = -13
\]

\[
-9x — 4 = -13
\]

\[
-9x = -13 + 4 = -9
\]

\[
x = \frac{-9}{-9} = 1
\]

Ответ: \((1; 1)\).

2) \( \begin{cases} (x — y)(x + y) — x(x + 10) = y(5 — y) + 15, \\ (x + 1)^2 + (y — 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 — 18; \end{cases} \)

Шаг 1: Раскроем скобки в обоих уравнениях.

Первое уравнение:

\[
(x — y)(x + y) — x(x + 10) = y(5 — y) + 15
\]

Используем формулы разности квадратов и раскрытие скобок:

\[
x^2 — y^2 — x^2 — 10x = 5y — y^2 + 15
\]

Упрощаем уравнение:

\[
-10x — y^2 + 5y + 15 = 0
\]

Теперь второе уравнение:

\[
(x + 1)^2 + (y — 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 — 18
\]

Раскрываем квадратные скобки:

\[
x^2 + 2x + 1 + y^2 — 2y + 1 = x^2 + 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 — 18
\]

Упрощаем уравнение:

\[
2x — 2y + 2 = 8x + 4y + 2
\]

Переносим все элементы с \(x\) и \(y\) на одну сторону:

\[
2x — 2y — 8x — 4y = 0
\]

\[
-6x — 6y = 0
\]

\[
x + y = 0
\]

Шаг 2: Получаем систему уравнений:

Система уравнений:

\[
\begin{cases}
-10x — y^2 + 5y + 15 = 0 \\
x + y = 0
\end{cases}
\]

Шаг 3: Подставим \(y = -x\) из второго уравнения в первое:

Подстановка \(y = -x\) в первое уравнение:

\[
-10x — (-x)^2 + 5(-x) + 15 = 0
\]

\[
-10x — x^2 — 5x + 15 = 0
\]

\[
-15x — x^2 + 15 = 0
\]

Переносим все элементы на одну сторону:

\[
x^2 + 15x — 15 = 0
\]

Решаем это квадратное уравнение с помощью формулы:

\[
x = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1}
\]

\[
x = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 60}}{2}
\]

\[
x = \frac{-15 \pm \sqrt{285}}{2}
\]

Шаг 4: Получаем корни для \(x\) и соответствующие значения для \(y\):

Корни для \(x\):

\[
x \approx -9 \quad \text{или} \quad x \approx -5
\]

Ответ:  \((-3, 3)\)