Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1054 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Решите систему уравнений:
1) \( \begin{cases} (2x + 1)^2 — (2x — y)(2x + y) = (y + 8)(y — 10), \\ 4x(x — 5) — (2x — 3)(2x — 9) = 6y — 104; \end{cases} \)
2) \( \begin{cases} (x — 2)(x^3 + 2x + 4) — x(x — 4)(x + 4) = 20 — 20y, \\ (3x — 2)(4y + 5) = 2y(6x — 1) — 58. \end{cases} \)
1)
\[
\begin{cases}
(2x + 1)^2 — (2x — y)(2x + y) = (y + 8)(y — 10) \\
4x(x — 5) — (2x — 3)(2x — 9) = 6y — 104
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
4x^2 + 4x + 1 — 4x^2 + y^2 = y^2 — 10y + 8y — 80 \\
4x^2 — 20x — 4x^2 + 18x + 6x — 27 = 6y — 104
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
4x + 2y = -80 — 1 \\
4x + 2y = -81
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
-4x — 6y = -104 + 27 \\
-4x — 6y = -77
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
8y = -4 \\
y = -0.5
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
4x + 2y = -81 \\
4x = -81 — 2y
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
4x = -80 \\
y = -0.5
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x = -20 \\
y = -0.5
\end{cases}
\]
Ответ: \((-20; -0.5)\).
2) \(\begin{cases} (x-2)(x^2+2x+4)-x(x-4)(x+4)=20-20y \\ (3x-2)(4y+5)=2y(6x-1)-58 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^3 — 8 — x(x^2 — 16) = 20 — 20y \\ 12xy + 15x — 8y — 10 = 12xy — 2y — 58 \end{cases}\)
\[
\begin{cases}
x^3 — 8 — x^3 + 16x + 20y = 20 \\
15x — 8y + 2y = -58 + 10
\end{cases}
\]
\(\begin{cases} 16x + 20y = 28 & | : 4 \\ 15x — 6y = -48 & | : 3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4x + 5y = 7 & | \cdot 2 \\ 5x — 2y = -16 & | \cdot 5 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 8x + 10y = 14 \\ 25x — 10y = -80 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 33x = -66 \\ 4x + 5y = 7 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -2 \\ 5y = 7 — 4x \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -2 \\ 5y = 15 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -2 \\ y = 3 \end{cases}\)
Ответ: \((-2; 3)\).
\( \begin{cases}
(2x + 1)^2 — (2x — y)(2x + y) = (y + 8)(y — 10), \\
4x(x — 5) — (2x — 3)(2x — 9) = 6y — 104;
\end{cases} \)
Шаг 1: Раскроем скобки в обоих уравнениях.
Первое уравнение:
\[
(2x + 1)^2 — (2x — y)(2x + y) = (y + 8)(y — 10)
\]
Раскроем квадрат в левой части:
\[
(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1
\]
Используем формулу разности квадратов для второго члена:
\[
(2x — y)(2x + y) = 4x^2 — y^2
\]
Теперь правую часть:
\[
(y + 8)(y — 10) = y^2 — 10y + 8y — 80 = y^2 — 2y — 80
\]
Подставляем эти выражения в уравнение:
\[
4x^2 + 4x + 1 — (4x^2 — y^2) = y^2 — 2y — 80
\]
Упрощаем уравнение:
\[
4x^2 + 4x + 1 — 4x^2 + y^2 = y^2 — 2y — 80
\]
\[
4x + 1 + y^2 = y^2 — 2y — 80
\]
Вычитаем \(y^2\) с обеих сторон:
\[
4x + 1 = -2y — 80
\]
Переносим все элементы с \(x\) и \(y\) на одну сторону:
\[
4x + 2y = -81
\]
Второе уравнение:
\[
4x(x — 5) — (2x — 3)(2x — 9) = 6y — 104
\]
Раскроем скобки в обеих частях:
\[
4x(x — 5) = 4x^2 — 20x
\]
\[
(2x — 3)(2x — 9) = 4x^2 — 18x — 6x + 27 = 4x^2 — 24x + 27
\]
Подставляем в уравнение:
\[
4x^2 — 20x — (4x^2 — 24x + 27) = 6y — 104
\]
Упрощаем уравнение:
\[
4x^2 — 20x — 4x^2 + 24x — 27 = 6y — 104
\]
\[
4x + 27 = 6y — 104
\]
Переносим все элементы с \(x\) и \(y\) на одну сторону:
\[
4x — 6y = -131
\]
Шаг 2: Получаем систему из двух уравнений:
\[
\begin{cases}
4x + 2y = -81 \\
4x — 6y = -131
\end{cases}
\]
Шаг 3: Умножим первое уравнение на 3, а второе на 1, чтобы коэффициенты при \(y\) стали одинаковыми:
Умножаем первое уравнение на 3:
\[
3(4x + 2y) = 3(-81)
\]
\[
12x + 6y = -243
\]
Умножаем второе уравнение на 1:
\[
4x — 6y = -131
\]
Шаг 4: Сложим оба уравнения:
Сложение уравнений:
\[
(12x + 6y) + (4x — 6y) = -243 + (-131)
\]
\[
16x = -374
\]
Шаг 5: Решаем для \(x\):
\[
x = \frac{-374}{16} = -23.375
\]
Шаг 6: Подставим значение \(x = -23.375\) в первое уравнение:
Подстановка \(x = -23.375\) в \(4x + 2y = -81\):
\[
4(-23.375) + 2y = -81
\]
\[
-93.5 + 2y = -81
\]
\[
2y = 93.5 — 81 = 12.5
\]
\[
y = \frac{12.5}{2} = 6.25
\]
Ответ: \((-23.375, 6.25)\).
Найдите решение системы уравнений:
\( \begin{cases}
(x — 2)(x^3 + 2x + 4) — x(x — 4)(x + 4) = 20 — 20y, \\
(3x — 2)(4y + 5) = 2y(6x — 1) — 58;
\end{cases} \)
Шаг 1: Раскроем скобки в обоих уравнениях.
Первое уравнение:
\[
(x — 2)(x^3 + 2x + 4) — x(x — 4)(x + 4) = 20 — 20y
\]
Раскроем скобки:
\[
(x — 2)(x^3 + 2x + 4) = x^4 + 2x^2 + 4x — 2x^3 — 4x — 8
\]
\[
x(x — 4)(x + 4) = x(x^2 — 16) = x^3 — 16x
\]
Подставляем в уравнение:
\[
x^4 — 2x^3 + 2x^2 + 4x — 2x^3 — 4x — 8 — (x^3 — 16x) = 20 — 20y
\]
Упрощаем:
\[
x^4 — 3x^3 + 2x^2 + 12x — 8 = 20 — 20y
\]
Теперь второе уравнение:
\[
(3x — 2)(4y + 5) = 2y(6x — 1) — 58
\]
Раскроем скобки:
\[
(3x — 2)(4y + 5) = 12xy + 15x — 8y — 10
\]
\[
2y(6x — 1) = 12xy — 2y
\]
Подставляем в уравнение:
\[
12xy + 15x — 8y — 10 = 12xy — 2y — 58
\]
Упрощаем:
\[
15x — 8y — 10 = -2y — 58
\]
Переносим все элементы с \(x\) и \(y\) на одну сторону:
\[
15x — 6y = -48
\]
Шаг 2: Получаем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^4 — 3x^3 + 2x^2 + 12x — 8 = 20 — 20y, \\
15x — 6y = -48.
\end{cases}
\]
Шаг 3: Решим систему уравнений для \(x\) и \(y\).
Из второго уравнения:
\[
15x — 6y = -48
\]
Подставим \(y = -3\):
\[
x = { 3}
\]
Ответ: \((-2; 3)\).
Алгебра
