ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 17 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) неравенство \(ax^2 — 2x + a < 0\) не имеет решений?

А) \(a < -1\) или \(a > 1\)

В) \(-1 < a < 1\)

Б) \(a \geq 1\)

Г) таких значений не существует

Нет решений, если \( ax^2 — 2x + a < 0 \).

Дискриминант \( D = (-2)^2 — 4 \cdot a \cdot a = 4 — 4a^2 \leq 0 \).

Тогда \( 1 — a^2 \leq 0 \), значит \( a^2 \geq 1 \).

Парабола направлена вверх, если \( a > 0 \).

Значит \( a \geq 1 \).

Ответ: Б.

1. Рассмотрим неравенство \( ax^2 — 2x + a < 0 \), где \( a \) — параметр, а \( x \) — переменная. Это квадратное неравенство, графиком которого является парабола. Чтобы понять, при каких значениях \( a \) неравенство не имеет решений, нужно изучить, как расположена парабола относительно оси \( x \). В первую очередь определим, при каких условиях парабола не пересекает ось \( x \) и при этом не принимает отрицательных значений.

2. Для этого найдем дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 — 2x + a = 0 \), которое задает точки пересечения параболы с осью \( x \). Формула дискриминанта: \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = a \), \( b = -2 \), \( c = a \). Подставим: \( D = (-2)^2 — 4 \cdot a \cdot a = 4 — 4a^{2} \). Значение дискриминанта показывает, сколько корней у уравнения. Если \( D > 0 \), корня два, если \( D = 0 \), корень один, если \( D < 0 \), корней нет.

3. Чтобы неравенство \( ax^2 — 2x + a < 0 \) не имело решений, функция \( f(x) = ax^2 — 2x + a \) должна быть либо всегда неотрицательной, либо всегда положительной. При \( a > 0 \) парабола направлена вверх, и для того, чтобы \( f(x) \) была всегда больше или равна нулю, необходимо, чтобы дискриминант был меньше или равен нулю: \( D \leq 0 \). Подставим: \( 4 — 4a^{2} \leq 0 \), откуда \( 1 — a^{2} \leq 0 \), то есть \( a^{2} \geq 1 \). Поскольку \( a > 0 \), получаем \( a \geq 1 \).

4. Если \( a < 0 \), парабола направлена вниз, и функция принимает отрицательные значения, следовательно, неравенство \( ax^2 — 2x + a < 0 \) будет иметь решения. Значит, при отрицательных значениях \( a \) условие отсутствия решений не выполняется.

5. Таким образом, единственное условие, при котором неравенство не имеет решений, — это \( a \geq 1 \). Это означает, что при таких значениях параметра парабола либо касается оси \( x \) в одной точке, либо лежит полностью выше оси, и неравенство \( ax^2 — 2x + a < 0 \) не выполняется ни для какого \( x \). Ответ: вариант Б.