ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 4 «Проверьте себя» Номер 7 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Цена некоторого товара после двух последовательных повышений выросла на 50 %, причём в первый раз цена была повышена на 20 %. На сколько процентов состоялось второе повышение?

А) на 30 % Б) на 25 % В) на 20 % Г) на 15 %

Пусть начальная цена товара 100 рублей. После первого повышения на 20 % цена стала \(100 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 100 \cdot 1.2 = 120\) рублей. Итоговая цена после двух повышений должна быть на 50 % больше начальной, то есть \(100 \cdot 1.5 = 150\) рублей. Пусть второе повышение на \(x\%\), тогда цена после второго повышения: \(120 \cdot (1 + \frac{x}{100}) = 150\). Решаем: \(1 + \frac{x}{100} = \frac{150}{120} = 1.25\), значит \(\frac{x}{100} = 0.25\), и \(x = 25\).

Ответ: второе повышение на 25 %, то есть правильный вариант Б.

1. Рассмотрим задачу о повышении цены товара. Начальная цена товара составляет 100 рублей. Нам известно, что после двух последовательных повышений цена увеличилась на 50 % от начальной, то есть итоговая цена стала равна \(100 \cdot (1 + \frac{50}{100}) = 100 \cdot 1.5 = 150\) рублей. Наша цель — определить, на сколько процентов было второе повышение, если первое повышение составило 20 %.

2. Сначала разберемся с первым повышением. Если цена увеличивается на 20 %, это означает, что к начальной цене добавляется 20 % от нее. Вычислим новую цену после первого повышения: \(100 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 100 \cdot 1.2 = 120\) рублей. Таким образом, после первого повышения цена товара стала равна 120 рублям.

3. Теперь перейдем ко второму повышению. Пусть второе повышение составляет \(x\%\). Это означает, что цена после второго повышения будет равна текущей цене (120 рублей), умноженной на коэффициент повышения, который равен \((1 + \frac{x}{100})\). Итоговая цена, как мы уже знаем, должна быть 150 рублей. Таким образом, мы можем записать уравнение: \(120 \cdot (1 + \frac{x}{100}) = 150\).

4. Решаем это уравнение шаг за шагом. Сначала разделим обе части уравнения на 120, чтобы изолировать выражение с \(x\): \((1 + \frac{x}{100}) = \frac{150}{120}\). Вычислим правую часть: \(\frac{150}{120} = 1.25\). Теперь у нас есть: \(1 + \frac{x}{100} = 1.25\).

5. Далее вычтем 1 из обеих частей уравнения, чтобы осталась только дробь с \(x\): \(\frac{x}{100} = 1.25 — 1 = 0.25\). Чтобы найти \(x\), умножим обе части на 100: \(x = 0.25 \cdot 100 = 25\). Таким образом, второе повышение составило 25 %.

6. Проверим наше решение. После первого повышения цена стала 120 рублей. Если второе повышение составляет 25 %, то коэффициент повышения равен \((1 + \frac{25}{100}) = 1.25\). Умножим текущую цену на этот коэффициент: \(120 \cdot 1.25 = 150\) рублей. Это совпадает с итоговой ценой, указанной в условии, значит, наше решение верно.

7. Сделаем дополнительную проверку через общий процент повышения. Начальная цена 100 рублей, итоговая — 150 рублей, то есть повышение на 50 %. Первое повышение на 20 % дало коэффициент 1.2, второе на 25 % — коэффициент 1.25. Общий коэффициент повышения: \(1.2 \cdot 1.25 = 1.5\), что соответствует увеличению на 50 % от начальной цены (\(100 \cdot 1.5 = 150\)). Это подтверждает правильность ответа.

8. Рассмотрим, почему другие варианты ответа могут быть неверными. Если бы второе повышение было, например, 30 %, то цена стала бы \(120 \cdot (1 + \frac{30}{100}) = 120 \cdot 1.3 = 156\) рублей, что больше, чем 150. Если второе повышение 20 %, то цена была бы \(120 \cdot 1.2 = 144\) рубля, что меньше 150. Только 25 % дают точное совпадение с итоговой ценой.

9. Важно понимать, что последовательные процентные повышения не суммируются напрямую. Нельзя просто сказать, что общее повышение 50 %, а первое 20 %, значит второе 30 %, потому что проценты начисляются на разные базовые суммы. Второе повышение применяется к уже увеличенной цене, поэтому нужно решать через уравнение или коэффициенты.

10. Итак, после всех вычислений и проверок мы заключаем, что второе повышение составило 25 %. Ответ на задачу — вариант Б) на 25 %.